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Da questa osservando essere identicamente: 



4 (i —pky — {k* — 2f (1 — 2k"-y- (1 -4- = 27/eW 4 



si ottiene: 



(6) :- 2 (1 - fe¥2)3 



ed essendo per la (4): 



_1 _&_ {!— k°-ky __ ikW 



(ez-etf- 3 3 " g\ ~ lb g\ 

 si avrà pel valore (3) di ì: I2 



- = (2/c/c') 3 . 



La equazione (2) moltiplicata per V § darà quindi: 



ck-KS" 1 di 



(7) _ = (2Aft') , 



la quale dimostra la opportunità di adottare siccome forma normale per l'integrale 

 (dittico del primo membro la espressione: 



dxV¥ 



Vy{x) 



come facevami osservare il prof. Klein in una sua lettera dello scorso dicembre. 

 Supponendo g 2 , g 3 reali, § positivo ed e 3 >e 2 >«i ? posto: 



c 2 



dxV~ì , [ dxV§ 



co = 



V v (x) J V <p {x) 



si hanno per le relazioni (1) (7) le: 



M = (2kk'y K, co' = {2kUf A" V — L 



nelle quali le K, K' hanno gli ordinari significati. 



« Da questo valore di co rammentando che K soddisfa alla equazione differenziale 

 lineare del secondo ordine: 



HP.«_(i-W).g_U=0 



osservando essere per la (6) : 



(8) (2kk')\ k' ^ = 4 1 ' ¥7i 1 1 7^1 



si ottiene pel periodo co la equazione differenziale lineare: 



rf 2 co 14 — li dot 1 co _q 

 ~dlF ~*~ ~Ò~i(l— T) di 144 — ~ 



la quale dimostra essere co esprimibile per mezzo di serie ipergeometriche ('). 



(!) Bruns, Ueber die Perioden dar elliptischen Integrale erster und zweiter Ordnung. Jubel- 

 schrift. — Dorpat. 



