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ellittica di S ft _ t o, se il suo ordine n è maggiore di 3, è razionale ed è 

 rappresentabile sopra un Su mediante un sistema lineare ali forme cubiche ; 

 quindi la determinazione delle varietà in discorso è ridotta a quella di certi 

 sistemi lineari di forme cubiche di cui sono note le varietà base. 

 Si trova così che: 



Se V£ è una varietà razionale normale non conica a curve sezioni 

 ellittiche d'ordine n e dimensioni k (n, k)3) essa è: 



a) per n = 4 la quartica base di un fascio di quadriche nello spazio 

 a k -f- 2 dimensioni; 



b) per n = h una V\ di S 7 0 una VI di S 8 0 infine una Vg di S 9 ; 



c) per n = 6 una V\ di S 8 . 



La rappresentazione della V£ sopra un S A mediante proiezione da una 

 sua retta era stata già studiata dal Rosati (') ; così pure non sono essen- 

 zialmente nuove le varietà b) e c), ma nuovi paiono alcuni dei risultati ai 

 quali intorno ad esse si perviene. La Vs del tipo b) si può generare mediante 

 quattro S 3 di un S 9 riferiti omograficamente in maniera opportuna e allora 

 si riconosce subito che essa è la varietà delle rette di uno spazio a quattro 

 dimensioni. Con ciò si stabilisce una semplice rappresentazione sopra un So 

 di quest'ultima varietà, che, evidentemente, è razionale, si, vede che la "V| e 

 V'I del tipo b) insieme con la V| di S 6 del prof. Enriques non sono altra cosa 

 che la varietà delle rette di un complesso lineare di S 4 0 delle rette comuni 

 a due 0 tre di tali complessi lineari, e si ritrovano per altra via risultati già 

 ottenuti dal prof. Castelnuovo ( 2 ). 



La V® del tipo e) è poi la varietà studiata dal prof. Segre in una sua 

 Nota inserita nel t. V dei Rend. del Circ. Mat. di Palermo. Essa è generabile 

 mediante tre sistemi piani collineari generici di S 8 e quindi può definirsi 

 come la varietà delle coppie dei punti di due piani. Ne segue, per es., che 

 una delle tre V3 di S 7 incontrate dal prof. Enriques è la varietà delle coppie 

 di un connesso di punti definito da una reciprocità qualsiasi fra due piani. 



(') Eosati, Rappresentazione della quartica etc. (Annali di matematica, 1 (3) 1899). 

 ( a J Castelnuovo, Ricerche di geometria della retta nello spazio a quattro dimensioni 

 (Atti del E. Ist. Veneto, ser. VII, t. II, 1891). 



