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Matematica. — Le oarietà a curve sezioni ellittiche. Nota dì 

 Gì. Scorza, presentata dal Socio E. Bertini. 



In una sua Nota inserita in questi Rendiconti (') il prof. Castelnuovo 

 dimostrò in maniera semplice ed elegante che ogni superficie a curve se- 

 zioni ellittiche o è rigata o può ottenersi come proiezione da una superficie 

 non rigata d'ordine n appartenente a uno spazio a n dimensioni; e allora, 

 tenendo conto di un noto risultato del prof. Del Pezzo, egli riuscì a carat- 

 terizzare la famiglia delle superficie a curve sezioni ellittiche mediante il 

 teorema : 



Ogni superficie a curve sezioni ellittiche o è rigata o è razionale. 

 Nell'ultimo caso ha l'ordine n <- 9 ed è rappresentabile sul piano in modo 

 che le sue sezioni iperpiane abbiano per immagini le cubiche di un si- 

 stema lineare con 9 — n punti base semplici o (per n = S) le quartiche 

 di un sistema lineare con due punii base doppi. 



Poco tempo dopo il prof. Enriques ( 2 ), valendosi di questo risultato, si 

 occupò della determinazione delle varietà a tre dimensioni a curve sezioni 

 ellittiche, e le sue ricerche, riassunte in due Note pubblicate pure in questi 

 Rendiconti, furono esposte poi, insieme con altre, in una Memoria pubbli- 

 cata nei Mathematische Annalen ( 3 ). Da esse risulta che: 



Ogni varietà a tre dimensioni a curve sezioni ellittiche o è una oo 1 , 

 ellittica di piani o è razionale, eccettuata (forse) la forma cubica dello spano 

 a quattro dimensioni. Se è razionale appartiene al massimo a un S 9 ed 

 ha al massimo l'ordine 8 ed è rappresentabile sullo spazio ordinario me- 

 diante un sistema lineare di quadriche o di superficie cubiche. 



In un lavoro che uscirà prossimamente alla luce io ho cercato di com- 

 piere le ricerche del prof. Enriques determinando tutte le varietà a curve 

 sezioni ellittiche e assegnandone le più notevoli proprietà proiettive. Poiché 

 il teorema fondamentale a cui si perviene risolve in modo definitivo la que- 

 stione sollevata dal teorema del prof. Castelnuovo, non mi sembra inutile 

 darne qui l'enunciato. 



Una immediata estensione del ragionamento del prof. Castelnuovo dà 

 subito che: 



Ogni varietà a k dimensioni a curve sezioni ellittiche o è una oo 1 



(') Castelnuovo, Sulle superficie algebriche le cui sezioni piane sono curve ellit- 

 tiche; questi Ifendic. 1° sem. 1894. 



( 2 ) Enriques, Sui sistemi lineari di superficie algebriche le cui intersezioni varia- 

 bili sono curve ellittiche; questi Eendic. 1" sem. 1894. 



( 3 J Bd. XLVI (1895), pp. 179-199. 



