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oppure : 



a") Si — s 2 = 3 , s 3 ^.4, ^ 

 /?') Sl = 2,s 2 = 3,sj > 6. 



Poiché i valori a') «") danno P 3 = 1 , V ipotesi P 3 = 0 porta a scar- 

 tarli e restano quindi come possibili i soli valori /?'). L'ipotesi P H = 0 

 porta infine a concludere che s 3 = 6 . 



4. Riassumendo, e ricordando che le superficie iperellittiche di rango 1 

 (superficie di Picard) sono caratterizzate dai valori p a = — 1 , p g = P 4 = 1 

 dei plurigeneri ('); si ha il seguente teorema: 



Le condizioni affinchè una superficie irregolare sia iperellittica di 

 rango r £l 1, si possono esprimere mediante i valori dei relativi generi 

 e plurigeneri, indicati nella tabella seguente : 



l 1°) r>l ,^ = 0 ,P 2 = P 4 = 1 

 \ 2°) r>l,P 8 = 0,P 3 = l 

 p a = — 1 { 3°) r > 1 , P 6 = P I0 = 0 , P 4 =-- 1 



4°) r > 1 , P 2 = P 3 = P u = 0 , P tì = 1 

 5°) r = 1 ,p ff = P 4 = 1 . 



Mediante l'analisi aritmetica accennata in principio, il teorema acquista 

 una maggiore determinazione, e precisamente risulta che: 



1 valori del rango r, del divisore d e del determinante n (=rà) 

 corrispondentemente ai singoli casi 1°) 2°) ... 5°) della tabella precedente, 

 son dati da quest'altra tabella: 



19) r = 2 |. ■ 



2°) r 



t à = 1 , g — 3 



{ d = 3 , ti , s= 9 



<f = l ,» = 4 



3° r = 4 



( J = 2 ,w = 8 

 4°) r = 6 e? = 1 , n = 6 

 5°) r = 1 , <? qualunque. 



I casi 1°) 2°) 3°) comprendono ciascuno due famiglie, dipendenti nel 

 1° caso da due moduli e negli altri due da un sol modulo. 



II 4°) caso comprende una sola famiglia dipendente da un sol modulo 

 e il 5°) infinite famiglie dipendenti da tre moduli. 



(') Enriques, 2* Memoria citata. 

 Rendiconti. 1908, Voi. XVII. 1° Sem. 2 



