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Le superficie corrispondenti dipendono da un sol modulo : quello di <p 

 (e le curve ellittiche C delle superfìcie stesse sono equianarmoniche). Pei 

 valori dei relativi plurigeneri trovasi: 



fa = — 1 , P«*.i = Piw* = 0 , P 3; = 1 • 



Questi valori caratterizzano le superficie in questione. Basta anzi che sia 



Pa = — 1,P3 = 1,P 8 = 0, 



giacché dalla formola (3), con un'ovvia analisi aritmetica, si trae 



t — 3 j Si = §2 ==: ^3 == 3 . 

 e) t = 3 , Si '== 2 ", è-; = s 3 — 4 . 



Le superficie così definite, possedenti un fascio ellittico di C armoniche, 

 dipendono da un sol modulo. Si ha per esse: 



Pa = 1 ) P-ii-t-i " " P4Ì+2 == P41+3 == 0 i Pv : 1 • 



Come nei casi precedenti si vede che questi valori dei plurigeneri ca- 

 ratterizzano le superficie in questione, bastando anzi che si abbia 



Pa = —l , P4 = 1 , P 6 = P,o = 0 . 



d) t — 3 , Si = 2 , s 2 = 3 , s-i = 6 . 



Le superfìcie così definite — possedenti, come nel caso b), un fascio 

 ellittico di curve equianarmoniche — dipendono da un modulo. Per esse 



Pa == 1 1 PeiH-l = P6Ì+2 — ■ • • = P6i + 5 ~ " 0 1 P6( == 1 • 



Questi valori caratterizzano tali superficie ellittiche, ed anzi basta p. es. 

 che sia 



p a =± — 1 , P 2 = P, = P u = 0 , P 6 = 1 . 



In tal caso la discussione che conduce al risultato è un po' meno sem- 

 plice che nei casi precedenti, e perciò la riferiremo. 



Essendo P 2 = 0 e quindi p g = 0 , la superficie in questione, di genere 

 p a = — 1 , è una superficie ellittica i cui plurigeneri possono calcolarsi me- 

 diante la (3). Dall' ipotesi P 2 = 0 segue intanto t = 3 . L' ipotesi P tì = 1 

 dà facilmente: 



a) St > 3 (i = 1 , 2 , 3) 



oppure : 



jff) s, = 2 , s 2 > 3 , s 3 > 6 • 



Osserviamo ora che P 4 = 0. Infatti se fosse P 4 >-0, poiché P 6 = l, 

 esisterebbe il sistema bicanonico, contro V ipotesi P 2 = 0 . La relazione 

 P 4 = 0 , tenendo conto dei possibili valori a) (3) per le s t , porta 



d) Si = So — S a = 3 , 



