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neri P; = 1 (ài = 2,3,4...)- D'altra parte, poiché sulla <P doppia non vi sono 

 punti di diramazione, per una nota formula di corrispond»enza (') il genere 

 numerico di F risulterà, come quello di <2>, 



p a = — 1 ; • 



ma queste condizioni definiscono, come è noto ( 2 ), le superficie iperellittiche 

 di rango 1 . 



3. Ciò premesso, passiamo a caratterizzare le superficie ellittiche con 

 due fasci di curve ellittiche, mediante i valori dei loro plurigeneri. 



Si ha anzitutto p g = 0 , p a = — 1. Per calcolare i valori dei plurige- 

 neri distinguiamo i 4 casi sopra menzionati : 



a) t = 4,Si = s-2 = s 3 = Si = 2 . 



Le superficie così definite dipendono da due moduli arbitrari, cioè dal 

 modulo di (f e dal birapporto («] a 2 a 3 a A ). I valori dei plurigeneri si calco- 

 lano mediante la formula di Enriques ( 3 ) : 



(3) P m = l + m(*-2)-y Qi , 



ove Qi è un intero soddisfacente alle condizioni 



m . ■ 



e ove si prenda P m = 0 tutte le volte che il 2° membro risulti negativo. 

 Si trova così: 



p a = — l, P 2(+1 = 0 , P 2;: = 1 . 

 Reciprocamente questi valori caratterizzano le superficie di cui si tratta, 

 giacché anzi basta che si abbia 



^ = — 1,^ = 0., P 2 = P 4 = l( 4 )- 



Infatti, essendo p a = — 1,^ = 0, si ha una superficie ellittica i cui 

 plurigeneri possono essere calcolati mediante la forinola (3). Ora, poiché 

 P 2 = t — 3 = 1, verrà t = 4 ; e poiché P 4 = 1 , verrà Si = s 2 = s 3 = s 4 = 2 ; 

 donde segue che, essendo soddisfatta la (1), sulla superficie ellittica in que- 

 stione le curve del fascio ellittico sono ellittiche. 



b) t = S , Si = So = s 3 = 3 . 



( 1 ) Severi, Rendiconti del E. Ist. Lombardo, (2), t. 36, 1903. 



( 2 ) Enriques, Sulle superficie che ammettono un gruppo continuo, ecc. Eendic. 

 Circolo di Palermo, 1905. 



(') l a Memoria citata § 8. 



( 4 ) In luogo di P 4 = 1 si può anche scrivere P 6 = 1 . 



