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questo: quando si procede ad un'analisi aritmetica delle superficie iperellit- 

 tiche irregolari di rango r > 1 , si trovano (in rapporto cogli ordini dei cor- 

 rispondenti gruppi) delle superficie ellittiche con due fasci di curve ellittiche 

 il cui determinante riceve soltanto valori particolari (e precisamente i valori 

 n = 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9) ( ] ), e non si vede subito a priori che si esauriscono 

 per tal modo tutte le superficie ellittiche predette; onde per questo lato si 

 affaccia il dubbio che l' imposizione di valori particolari al determinante, co- 

 stituisca una condizione da aggiungere ai valori dei generi, per esprimere 

 che una data superficie ellittica è iperellittica. 



Mentre ci proponevamo di ritornare su questo punto, i sigg. Bagnerà 

 e De Franchis sono giunti dal canto loro a chiarire la cosa e a riconoscere — 

 in modo indipendente dalla nostra ricerca — il fatto che « tutte le superficie 

 ellittiche con due fasci di curve ellittiche sono iperellittiche » ; questo fatto 

 essi hanno enunciato in una recente Nota dei Comptes Eendus dell'Accade- 

 mia di Francia, ricca di altri risultati importanti. 



Siccome però in codesta Nota non si trova messo in rapporto il fatto 

 suaccennato coi valori dei plurigeneri, stimiamo non inutile ritornare sull'ar- 

 gomento esponendo i brevi sviluppi che seguono. 



2. Ci sia permesso anzitutto di riassumere la nostra dimostrazione del 

 teorema che « le superficie ellittiche con due fasci di curve ellittiche sono 

 iperellittiche ». 



Sia data una superficie ellittica con due fasci di curve ellittiche C , K 

 (secantisi in n >> 1 punti). 



Si tratta di costruire una superficie F iperellittica di rango 1 , che sia 

 rappresentata sulla <2> multipla senza punti di diramazione; le coordinate dei 

 punti di d> sono allora funzioni razionali di quelle dei punti di F . 



Accenneremo brevemente come si possa procedere all'effettiva costruzione 

 dell'anzidetta superficie multipla. Perciò ricordiamo alcune cose intorno alle 

 superficie ellittiche ( 2 ). 



Una superficie ellittica eP — di determinante n > 1 — può rappre- 

 sentarsi sopra un cilindro ellittico 



(f{:cy) = 0 



multiplo secondo il numero n, con una curva di diramazione composta di t 



(') Questo risultato è implicito nelle tabelle che i sigg. Bagnerà e De Franchis 

 hanno pubblicato al n. 5 della Nota inserita in questi Eendiconti (aprile 1907); e da 

 parte nostra fu sviluppato mediante un'analisi contenuta nella parte addizionale di una 

 Memoria che abbiamo inviato all'Accademia di Francia (luglio 1907). 



( 2 ) Enriques, Sulle superficie algebriche di genere geometrico zero. Eendic. Circolo 

 di Palermo, 1905 (§§ 8,9). 



