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dato che questo si esprima col numero finito, determinato, diverso dallo zero § , 

 concluderemo che l'ordine della f rispetto alla <p è l'infinito (o lo zero) 

 di ordine fi . 



Se poi anche il rapporto (3) fosse infinito, o nullo, si esaminerebbe il 

 rapporto 



ecc. 



lg f 



3. Se il quoziente non ha limite, e ne sono l , L , rispettivamente, 



l g9 , 



il minimo ed il massimo limite, nel punto d'infinito delle funzioni f,g>; 

 si conclude che l'ordine della f è non minore di l, nè maggiore di L. 



lg / 



4. L'applicazione di noti teoremi (') alla espressione j— - , ci permette 



lo- / 



min lim r 2 -^ — min lim 



lg<P 



(5) 



lg /' 



max lim r 3 -^ — max lii 



di scrivere : 



il- 



lg9> V/ 91 



ed anche, quando esista il secondo membro, 



(6) lini pf'A lim 



IgSP V/ 91 ; 



Se, in quest'ultima eguaglianza, il secondo membro è infinito (infinite- 

 simo) tale è anche il primo. Volendo determinare gli ordini di questi infi- 

 niti (infinitesimi), abbiamo, per il primo membro, da calcolare il limite : 



(7) lim IJLM = lim ^.€Zìim(£: : lg f = lim : A ; 



lgSP /lg/ <p \f <pj g ' dx\f y/ 



L 

 f 



e, per il secondo membro, 



ioJL,£\ AlfL.t) ±(f- : *) 



(8) lim ig = lim f M/^i = lim . 



fcSP IC.<1\9 t 



\f'9Ì9 f 



(') Cfr. per es. Sul limite del quoziente di due funzioni di Ettore Bortolotti [An- 

 nali di Matematica, tomo Vili, della serie III (1903), pagg. '245-286]. 



( 2 ) Cfr. Contributo alla teoria degli infiniti di E. Bortolotti [Annali di Matematica, 

 tomo XI, della serie III, pagg. 29-65 (1904)] pag. 55 e seg. 



