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Anzi, se ammettiamo lecito il passaggio al limite, troviamo dal con- 

 fronto delle (II), (III) che 



h~ = 2u — — per z >0 (M = limU 2 ). 



dz Ti 



Dalle (li)' e (III)' troviamo similmente 



per z <_ 0 (u = lim TJ 2 ) 



, du fi 

 — h -r~ = 2u 



dz r 



Ricordando che u deve essere armonica, ne deduciamo facilmente che u ha 

 valori uguali in punti simmetrici rispetto al piano z = 0 (conformemente 

 al fatto che u deve essere un integrale di semplice strato esteso a questo 

 piano) e che p. es. nel semispazio z > 0 è 



2_ 



e h 



(IV) 



1 ~h 



— oh 



fi du fi , n fi n - /l 1\ 

 F = — 4- h~r = - 4- 2u — - == 2u 4- fi [ ) 



r 1 dz r 1 r x ' \r rj 



Se ne trae anzi, con integrazione per parti : 



(lY) bis 



F l = \im(F-^) = h~ = 2u^^ = fie^ f — ^- e~^ z dz; 

 \ r) dz Vi ^ J g ~òs 



la Fi è il contributo portato al potenziale elettrostatico da s. La densità q 

 dell'elettricità libera su s è così data da: 



( ivr <>=-±m 



„T 2 



- e h dz 



~2iZ 2 



E si nota che per h = oo , questa formola diventa 



1 



~ò- 



1 



? 2tt \ 7>« /- =0 2tt \ ^ /- =0 ' 



E cioè il nostro strato dielettrico si comporta in tal caso, come era preve- 

 dibile, come uno strato conduttore. 



Le (IV) Ms e le (TV) ter sono suscettibili di interpretazione generale; 

 se, anziché un solo punto elettrizzato, noi avessimo nella regione ^> 0 una 

 distribuzione elettrica qualsiasi, continuerebbero a valore formole analoghe, 



che si deducono dalle precedenti, ponendo al posto di — quella funzione 



