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Matematica. — Sul problema di Cauchy per le equazioni a 

 caratteristiche reali e distinte. Nota del dott. Eugenio Elia Levi, 

 presentata dal Socio U. Dini. 



1. Sia un'equazione alle derivate parziali di ordine n in due variabili 

 indipendenti 



(1) ¥(X^p 10 p 01 ...pnoPn-n ...Pon) = 0 (ff * = ^ H J ! 



si dice che in un campo J dell' S m in cui sono coordinate x , y , s y p 10 , ... , p on , 

 essa è a caratteristiche reali e distinte, quando le radici «j , a % , ... , u n 

 dell'equazione 



(2) P,. 0 «" + P„_M H hPo»=0 (p ift =P rt (^,...,^ 0 „) = ^) 



\ opiit ! 



sono in J tutte reali e distinte. Ricordiamo che, data una superficie z = z(xy), 

 ad essa si può fare corrispondere una superficie A dell' S m , col porre 



~if f *Z 



p ih = — r— ^ ; e data sopra la superficie una curva, ad essa si può far cor- 



rispondere nell' S m una curva, attribuendo a i valori corrispondenti per la 

 superficie. Le superficie e le curve di S m così ottenute non sono generali; 

 le chiameremo superficie A e curve T ('). 



Il problema di Cauchy, enunciato precisamente, è allora il seguente: 



dv 



data una curva r di S m soddisfacente (1) e tale che, posto ~£ x ~ — a > i' 1 



nessun punto di essa sia soddisfatta la (2), trovare una superficie A sod- 

 disfacente ad (1) e che passi per la curva r. Io mi propongo di dimostrare 

 che, pur restando dal punto di vista delle funzioni di variabile reale, se in 

 un intorno J di r l'equazione (1) ha caratteristiche reali e distinte, il 

 problema di Cauchy è risolubile ed ammette una sola soluzione ( 2 ). 



ed y si possano prendere come variabili indipendenti su essa e che sia pn. ; perchè 



(') Perchè una superficie di S m sia una superficie A occorre e basta che x 



'òx i ìy h 



una curva di S m sia una curva r occorre e basta che sia dz = p 10 dx -{-p ai dy, dpa = 

 Pi+ik dx -\- Pih+i dy (i-j-^ — n— 1)> i differenziali essendo presi rapporto al parametro 

 che individua i punti della curva. 



( 2 ) Si può dire che sin qui il problema non è mai stato studiato dal punto di vista 

 delle funzioni di variabile reale altro che nel P caso in cui l'equazione sia lineare, nelle 

 derivate di ordine massimo, a coefficienti funzioni dì x ed y soltanto: possiamo dire nel 

 caso delle caratteristiche fisse. Anche per le equazioni di secondo ordine nulla si conosce 

 all' infuori di questo caso appunto, che fu studiato dal Picard nella celebre Memoria del 

 Journal de Mathématiques, 1890. Maggiori indicazioni bibliografiche si trovano nelle mie 

 Note che saranno tosto citate. 



