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Mi fonderò sul teorema analogo , che ho dimostrato per le equazioni 

 lineari in due Note pubblicate nei Rendiconti dell'Istituto Lombardo ('). 



2. Premettiamo un'osservazione generale. Si può con una trasformazione 

 delle coordinate x y e della funzione incognita s fare in modo che la curva 

 iniziale r sia determinata dalle equazioni 



(3) X = 2 = p 10 = p 0l = ••• = p m —p»-n ' -=Pnn = 0: 



in altri termini, che siano assegnati i valori iniziali per z e le sue derivate 

 nei punti di un tratto dell'asse delle y, e che questi siano tutti nulli ( 2 ). 

 Il campo J si potrà allora immaginare limitato dalle disuguaglianze 



(4) CM.|y|]<di , IH , ImI] < d 2 {i-\-k<.n); 



e si può supporre, per comodità, < 1. 



L'ipotesi che r non soddisfaccia mai (2) si traduce allora nell'altra 

 che P )l0 (02/0 ... 0) 4= 0, od anche che tutte le radici a ì a 2 ... a n di (2) siano 

 rinite : potremo supporre quindi che lo stesso avvenga in tutto il campo J . 

 Noi supporremo che in J si abbia sempre p, <C\ P n0 | <C Qz i e che del pari 

 si abbia | «,■ | <^ M . Infine l'ipotesi che l'equazione sia a caratteristiche di- 

 stinte ci dice che in J le quantità . ; non diverranno mai supe- 



I a i a j I 



riori ad una conveniente quantità n . 



Ciò posto, è facile vedere che, innalzando convenientemente l'ordine 

 dell'equazione, si può sempre ridurre l'equazione medesima ad una partico- 

 lare forma, lineare nelle derivate di ordine massimo, con coefficienti funzioni 

 di x , y , z e di un certo numero di derivate di ordine inferiore ( 3 ). Si scelgano 

 invero a -f- 1 numeri arbitrari a n+ i , a„ +2 , ... , a 2n+ì , sottoposti alle sole con- 

 dizioni di essere inferiori in modulo al numero M e tali che in tutto J si abbia 



1 . 1 ' 



ancora ; • <. fi , ; , <C V>- 



Se noi deriviamo (totalmente) il primo membro di (1) secondo la di- 

 rezione di coefficiente angolare cc n+ì , considerandola z quale funzione di x 

 ed y, otteniamo per z un'equazione lineare di ordine n -f- 1 : 



(5) ^ 5 "° ^ n ~ i 1 a "+l P«— 2i) Pnl ~\~ (P<m a n-t-l Pln-l) Pln 



<*m-l Pon PorH-ì f{^yZ Pw Poi ... p n o ••• Pori) = 0 ; 



ed è ben noto che il problema di Caucby per l'equazione (1) e coi dati 

 iniziali (3) è equivalente al problema di Cauchy per l'equazione (5), quando 



(') E. E. Levi, Sul problema di Cauchy per le equazioni lineari in due variabili 

 a caratteristiche reali, Rendiconti dell'Istituto Lombardo, Nota I (§ I-III), Nota II 

 (§ IV- VI) (1907-1908); citerò queste due Note con (L.) ed (L 2 ) . 



( 2 ) Cfr. per maggiori particolari (Li), § I, e (L t ), § VI. 



( 3 ) Analoga trasformazione è usata in (L 2 ) § V. 



