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per dati iniziali si assumano ancora le (3) e si determinino i valori iniziali 

 delle derivate di ordine n-\- \ per modo che siano compatibili colle (3) 

 medesime e colla (5). 



Sull'equazione (5) si può procedere come sull'equazione (1), derivando 

 totalmente secondo la direzione di coefficiente angolare a n+2 , e poi secondo 

 quelle corrispondenti ad a n+3 ... a 2)l+ì : otterremo così un'equazione di ordine 

 2n in cui le derivate di ordine 2,i -f- 1 compaiono linearmente con 

 coefficienti funzioni di x ,,y i,* e delle derivate di s di ordine n soltanto, 

 e tale di più che le radici dell'equazione delle caratteristiche siano le me- 

 desime cty , cc 2 , ... , a n della (1) e le costanti a n + x » a n+z , ••■ •> a 2n+i • E si 

 noti che senza affatto modificare la forma dell'equazione, noi potremo poi 

 supporre che i valori iniziali sull'asse delle y per la z e le sue derivate 

 fino all'ordine 2n -f- 1 siano precisamente ancora lo zero, poiché basta perciò 

 sostituire alla s la funzione s-\-u, u essendo una funzione che soddisfa 

 alle medesime condizioni iniziali cui dovrebbe soddisfare la s . 



Kisulta chiaro che affinchè si possa procedere ai calcoli precedenti oc- 

 corre che la funzione F che compare nel primo membro di (1) ammetta le 

 derivate dei primi n -f- 1 ordini rapporto a tutte le variabili da cui essa 

 dipende esplicitamente. Noi ammetteremo di più che la funzione F am- 

 metta in 4 tutte le derivate fino all'ordine n-\-2 rispetto alle variabili 

 x , y , B , ... , ja'on ; ne seguirà che nell'equazione di ordine 2«-f-l, dedotta 

 da (1) come sopra si disse, la parte del primo membro che è indipendente 

 dalle derivate di ordine 2n -j- 1 ammette le derivate parziali prime rispetto 

 a tutte le le variabili da cui dipende esplicitamente. Invece i coefficienti 

 delle derivate di ordine 2a -f- 1 essendo combinazioni lineari a coefficienti 

 costanti di P„ 0 , P>i-n , ••• < Po» ammetteranno tutte le derivate parziali dei 

 primi n -j- 2 ordini. Lo stesso varrà per le radici a, a 2 ... «„ dell'equazione 

 delle caratteristiche. Siccome P n0 è in i sempre ^> q x in modulo, potremo 

 anche dividere per P n0 : il coefficiente di pì„+ 10 è allora l'unità. 



3. Riponiamo n al luogo di 2n -f- 1, ed enunciamo di nuovo chiaramente 

 tutte le ipotesi che per quanto precede si possono intendere soddisfatte. 



Ci limiteremo dunque a studiare equazioni del tipo : 



(6) Pno + Pn-ii pn-n + ••• Po»^o» = fimjSPioPoi -j^-io -Pon-i) 



dove P,7t = Pift(.rys , jUio^oi —PvoPv-n •■• Po-') con v tale che 2v-\-l<.n. 

 E supponiamo che l'equazione 



(7) CC n + Pn_ n a"" 1 H hPon = 0 



abbia v radici e^as- ... a., funzioni di x , y , s ,py 0 -.pò* e le residue a^ +l , 

 a.,+2 , ... , a n costanti. Il campo J di S m sarà dato dalle disuguaglianze 



(8) OUy|-]<di<l, D*l»lf*0 + * ^ » — !). 



