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nessuna limitazione imponendo alle derivate di ordine n. Chiameremo ó il 

 campo [|#| , |^|] <C <A > proiezione di J sul piano xy. Supporremo che in J 

 la f abbia le derivate parziali prime rispetto a tutte le variabili da cui 

 dipende esplicitamente e che queste siano tutte inferiori ad M ; ne segue 

 che, se consideriamo la funzione che si ottiene derivando la f totalmente 

 rapporto ad x ed y, otterremo funzioni di x , y , z e delle derivate di z di 

 ordine js!», lineari nelle derivate di ordine n, con coefficienti inferiori 

 ad M in J : onde, se si suppone z soddisfacente alle (8) ed alle 



(9) LÌPno\ , felli |i ». ,bon|] <'Ì 3 , 



d z indicando un numero che per comodità supporremo > 1, esisterà un nu- 



\~Ì>X 



mero a funzione di M soltanto, tale che le derivate totali (— \ , (—) sod- 



disfanno alle 



[|(|fÌ(DI]<* ; 



Infine chiameremo <P il massimo valore assoluto in J di f{xys ... p on -\) e 



supporremo 4> maggiore anche di 



Vfcg.yO ... 0) 



e di 



~òy 



m 



~òx 



Quanto alle a noi ammetteremo che a x , « 2 , ... , a v abbiano le de- 

 rivate parziali dei primi v ordini rispetto alle variabili che in esse com- 

 paiono : accrescendo ove occorra M , supporremo che in J queste derivate 

 siano tutte << M : ed ancora supporremo < M in modulo le funzioni che 

 si ottengono calcolando le derivate totali dei primi v ordini delle a 1 a 2 ...a v 

 quando la z sia una funzione di x e di y soddisfacente alle (8); si noti 

 che queste derivate totali per quanto precede dipendono da x , y , s e dalle 

 derivate di z di ordine <. 2v <. n — 1. Infine accrescendo ove occorra il nu- 

 mero M supporremo che esso superi in modulo le residue costanti 

 e le Pi m (xyz ...p 0 i) e le loro derivate parziali prime. Chiameremo infine ,u 



il massimo di — - — . 



tti — ttj 



Premesse queste ipotesi, per risolvere il problema di Cauchy per l'equa- 

 zione (6) procederemo per approssimazioni successive. Determineremo le Zi 

 dalle equazioni 



/ p hno + P 0lW -ii Pun-n H H Eoiónpi.ùti = f(^ljO ... 0) = f„{xìj) 



+ Pi,«-nj»i,n-n + + P|,on£*,on = fixyZ x ... ^i, 0 n-i) =fA x V) 



(11) • • • 



I Pum 4" Pi'-l,)i-n ^/,)i-n -f- ••• Pi-l,onPi,on = f{xy%i-\ ... Pi-i, 0 n-l) = fi-\{ x V) 



