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dove P 0 ,im = V lm (xyO ... 0) , Y iM = V lm (xy3i p, !Ì0 ...p^). Dimostreremo che 

 per le ipotesi fatte le g\ successive ammettono tutte le derivate dei primi 

 n ordini, e convergono ad una funzione s la quale soddisfa alle condizioni 

 iniziali, ammette le derivate dei primi n — 1 ordini e soddisfa a (6). Na- 

 turalmente quest'ultima affermazione devesi intendere nel senso che, costrutte 

 le Vi m (il che è possibile poiché s ammette le derivate dei primi n — v 

 ordini), esiste ancora quella particolare derivata n esima di g che si ha consi- 

 derando il primo membro di (6) come un unico simbolo operatorio, e che 

 questo ha il valore del secondo membro. Quando (6) provenga da una equa- 

 zione di ordine inferiore ad n per la via indicata al n. 2, si potrà dire che 

 la g soddisfa all'equazione primitiva. 



Vale la pena di notare come il sistema (11) che determina le succes- 

 sive approssimazioni non si trova nelle condizioni in cui comunemente si 

 applica il metodo del Picard, poiché le varie equazioni differiscono per il 

 mutare del termine noto non solo, ma anche perchè mutano i coefficienti 

 delle derivate di ordine massimo. In questo si deve cercare la ragione delle 

 differenze che compariranno nel dedurre la convergenza delle funzioni g t ad 

 un limite in confronto col metodo che ordinariamente si tiene ( 1 ). 



4. Distingueremo la dimostrazione in due parti: 1° dimostrazione del- 

 l'esistenza delle soluzioni delle successive equazioni (11); 2° dimostrazione 

 della convergenza ad un limite. 



Si osservi che le (11) sono tutte lineari: e che ogni volta che sia di- 

 mostrato che in un certo campo ó' di valori di xy esiste la funzione 

 ed ha le derivate dei primi n ordini, e sia essa che le sue derivate di or- 

 dine <- n — 1 soddisfanno alle (8), la i esima equazione delle (11) si può 

 costruire, ed è tale che ad essa si può applicare il teorema del § V di (L 2 ) 

 facendovi g = 1 , M = M , 01tó>, = 0 e = fi . Infatti dalle ipotesi fatte 

 su segue che le prime v radici a;_ M , aj_ 1)2 , ... , dell'equazione 

 delle caratteristiche corrispondente alla i esima equazione (11), le quali sono 

 le sole che non siano delle costanti, ammetteranno tutte le derivate dei primi 

 v ordini e che queste saranno tutte inferiori ad M: basti ricordare che 

 queste dipendono solo dalle derivate di ordine < 2v <.n — 1 di g^ . 

 Inoltre la funzione fi-\{xy) ammetterà le derivate prime; onde intanto risulta 

 evidente che si può fare £ = l,M = M, i u = J u. ( 2 ). Infine, siccome nelle 

 equazioni (11) mai non compaiono termini di ordine n — 1, avremo = 0. 



(*) Si noti in particolare ad es. che per potere determinare la convergenza delle zi 

 e delle loro derivate di ordine n — 1 occorre dimostrare l'esistenza delle derivate di 

 ordine n delle zi e trovare per esse una conveniente limitazione. 



( 2 ) Si noti come qui abbia efficacia la grande economia delle ipotesi da me intro- 

 dotta nel teorema citato. Ove non fosse dimostrato in quel luogo che perchè la soluzione 

 di un'equazione lineare di ordine n ammetta le derivate di ordine n-\-g—\ è suffi- 

 ciente che: 1° tutte le a ammettano le derivate dei primi ge ordini; 2° che le a si 

 possano ordinare in modo che «i ammetta le derivate di ordine <; i e , V innalzare 



Rendiconti. 1908. Voi. XVII, 1° Sem. 45 



