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Se noi quindi supponiamo che il campo ó' in cui si è ammessa l'esi- 

 stenza della sia un rombo avente la diagonale sull'asse delle y ed i 

 lati paralleli alle rette di coefficiente angolare -f- M e — M , \'i esima equa- 

 zione (11) determinerà, in virtù del teorema citato, nel campo ó' medesimo 

 una soluzione gg che si annulla sull'asse delle y, ed ammette tutte le de- 

 rivate di ordine n. E, se si potrà accertare, mediante le limitazioni asse- 

 gnate a Si dal teorema medesimo, che la % soddisfaccia ancora alle (8) come 

 Iti -, SI potrà anche costruire la {i-\-\) esima di queste equazioni e da 

 questa determinare Zi +Ì , e così procedere. Ma conviene notare che i numeri 

 x n , x$ che compaiono in quel teorema essendo funzioni di n , M , Sflfo, , fi 

 soltanto non varieranno affatto al passare da una equazione alla successiva 

 per quanto varii la forma dell'equazione medesima. 



Andiamo dunque a trovare un campo in cui tutte le & successive sod- 

 disfacciano a queste condizioni. 



Intanto dalla prima delle (11) risulta senz'altro, applicando il teorema 

 citato col porre P = ~Ei = <X> , t = U — 0, che nel campo d, , costituito dal 

 massimo rombo contenuto in 6 il quale ha una diagonale sull'asse delle y 

 ed i lati paralleli alle rette di coefficiente angolare -j- M e — M, essa de- 

 termina una funzione s x tale che 



( |*tf< *»#'|at , E[jh,*| , \Pi,oi\K*»*\x^, ••• 



(12) ! - [|/>i,n-lo| i |j»l,n-ll| , ••• , \Pl,on-\\~] < *n® \x\ , 



| l\lh,no\ > I^i,n-n| , ... , |^i,o»|]<*« , *[l + Im- 

 prendiamo in ài un campo ó' che sia ancora un rombo colla diagonale 

 sull'asse delle y e coi lati paralleli alle rette di coefficiente angolare -j- M 

 e — M , e tale che in esso si abbia 



(13) *n<Dk|<dt, 



e quindi a fortiori x n (P \xf < d 2 (1 <. i <. ri). Allora $, soddisfa per (12) a 

 tutte le proprietà richieste sopra, e quindi la seconda delle (11) determina in 

 S' la Si . Ma per (10) e (12) si ha, osservando che \x\ << di < 1 , 1 -f- \x\<C 2 , 



<2(rx; ( 1) <P . 



(U) IAto)|<«. [|1M^|] 



Quindi applicando il nostro teorema alla seconda delle (11) col farvi F = (P, 

 F, = 2ff x£># ,t — t l = Q otterremo che s 2 soddisfa alle limitazioni 



l \22\<x n <I>\x\ n ,l\P^o\ i b2,oi|]<^k| n_l ••• 



{ ' } ) Cl^nol , \P2,n-n\ , - , |^,o»|] < *£ ) *(2*'W kl + 1)< 



f <2x<„ 1 ».2(rx^.a>, 

 poiché si può sempre supporre 2a x$ ^> 1 . 



l'ordine dell'equazione come si fece al n. 2 non avrebbe avuto alcuna efficacia, e non 

 avremmo potuto affatto procedere nel modo che qui teniamo. 



