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E per (13) si avrà allora che £ 2 soddisfa ancora alle condizioni notate 

 sopra perchè si possa applicare il nostro teorema. E la terza delle (11) de- 

 terminerà s 3 àncora in <f; e, tosto che si osservi che per (13) (15) e (10) 

 si ha 



(16) |A(*jr)|<* , , |^|].<(2(r^<P, 



si otterranno le limitazioni per s- 3 facendo nel nostro teorema F = <jP , 



Fi = (2<r x^Y <S> , t = ti = 0. E così procedendo, otterremo che in generale 

 in ó' esistono tutte le ài successive e soddisfanno alle limitazioni seguenti : 



Zi\<Xn<t> \z\ n ,l\Pi,lo\ , \Pi,0l\l<*n ( I , \x\ n - 1 - 



(17) { 



Efe| , \Pi,n-n\ , ... , |^,on|]<4 1, [(2tf^ , ) Ì - 1 kl+ 1]*< 



Onde risulta esaurita la prima parte della nostra dimostrazione. 



5. Per mostrare la convergenza delle Si si osservi che dalle (11), posto 

 fi = s i+ i — Si , si ha 



(18) 



^ì.no ~t~ Fi, «-H ^ì^i-n ~\~ "' ~~h F ])0n 7ri, 0 n — xpx{xy) 



ÌÌì,no + r'ifrzii ^2,n-ii H h P2,on 7*2,0*1 — H>ì{xy) 



™i,no + Pf.n-11 ™i,n-) \ + + Pi, 0 n #ì, 0 n = ^i{xy) 



dove si pose 7^ = —^ e 



(19) Vi(^) = /i(^) — fi-A X V) + 2 7^m(Pi-i,ta — h,im) • 



l -+. m=n 



m>0 



Incominciando dalla prima delle (18) e ricordando che è fi{xy) — 

 — fo{ x y)=f(xyZiP\,\o — i>i,on-i) — f(xyO... 0), e chele derivate parziali di / 

 sono inferiori ad M, si trae intanto dalle (12), tenendo conto che I^K^i^l 



(20) |/iW-f.(^)|<WiM^^| 



w?i = o % essendo il numero delle variabili s\p lQ ... p<,„-\ r Ed ana- 



fi 



logamente 



(21) IPo^-P.^K^Mx^^l'-" (fo, ^ ( V + 2H^ + 1) \ _ 



