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E da queste relazioni segue senz'altro che nel campo ó' che soddisfa alle 



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limitazioni (13) e (25) le funzioni Zi = z 1 -\- e le loVo derivate di or- 



i 



dine <- n — 1 convergono uniformemente ad una funzione g ed alle derivate di 

 essa dei primi n — 1 ordini, e questa funzione g soddisferà alle limitazioni (8). 

 Segue allora, ricordando sempre che la f(xy;...p 0tì -i) ammette, quando ' z 

 soddisfa ad (8), derivate parziali inferiori in modulo ad M, chele funzioni 

 f\(xy) , fì{xy) ... convergono uniformemente alla funzione f{xyz , ... , p 0 n-i) ; 

 e quindi ancora, in virtù delle medesime equazioni (11), che anche la 

 successione dei primi membri p iìnn -\- 2 ?i,imPi,im delle (11) convergono 

 uniformemente ad un limite. Ma noi sappiamo che anche le P,-, <m conver- 

 gono uniformemente alle funzioni P ìm (xyz , ... , jvO? quindi converge unifor- 

 memente anche la successione di funzioni p iìlm -[- V P im _p Mm e converge a 

 f(xysp xo ■••Pon-i)', e quindi, pur non potendo affermare l'esistenza delle deri- 

 vate di ordine n di g, si può affermare che ha senso per g il primo membro 

 di (4) interpretato come un unico simbolo derivatorio di ordine n: e che in 

 tale accezione la s soddisfa all'equazione (4) medesima. 



6. Se si ritorna alla forma primitiva dell'equazione proposta, all'equa- 

 zione (1), noi possiamo dire che nelle ipotesi fatte al n. 2 la s esiste ed 

 ammette le derivate dei primi 2n ordini. Se si volesse che z avesse le de- 

 rivate di ordine 2n-{-k, basterebbe procedere ancora oltre col metodo detto 

 al n. 2 e da (1) passare ad una equazione di ordine 2n-\- h -\- 1. 



7. Tralascio oramai di insistere sul teorema di unicità corrispondente 

 al teorema di esistenza sopra dimostrato. La dimostrazione per approssima- 

 zioni successive data sopra vale con procedimenti noti anche per dimostrare 

 il teorema di unicità ('). 



Od anche si potrebbe dedurre il teorema di unicità dal teorema ana- 

 logo relativo alle equazioni lineari dato in (L^ ed (L 2 ) seguendo il metodo 

 esposto dall' Hadamard nella Nota I delle Legons sur la propagation des 

 ondés ( 2 ). 



(') Cfr. ad es Goursat, Cours d'Analyse, tomo II, pag. 372. 



( 2 ) Hadamard, Lepons sur la propagation des ondes etc, pp. 352 e sg. 



