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Il coefficiente di c h nelle i ma equazione 'è : 



j=l Ja 



Le equazioni (4) saranno dunque soddisfatte da uno e da un sol sistema 

 di valori per le c x , c% , ... , c n , nell' ipotesi che risulti: 



(7) 



rb j=n rb 



I a u {r) dr y_(nj) a^x) T n ~Hr 



Ja j=l J a 



a nl {x) dx y (nj) a n j(r) r n Ht 



'a fc=l Ja 



Ben chiaramente, nell' ipotesi (7), risulterà : 



oh = f W) gé) tè > 



dove gj({^) sono polinomi di grado n — 1 in fi cui coefficienti sono espressi, 

 in modo che non ci importa di determinare, razionalmente per mezzo delle 

 quantità : 



f / \ ,a (i ,k = l ,2 ,...n \ 



Ja \v = 0 , 1 , ... , n — 1/ 



Neil" ipotesi che le condizioni (4) soddisfino alla (7), esiste dunque uno 

 ed un solo integrale della (1) verificante le condizioni (4) e, come si de- 

 duce dalla (5), esso è definito dall'eguaglianza: 



v(*) = f W) g(* + IV- 1 f b <p(§) gtf) dì- , 



Ja fc=l Ja 



cioè dalla: 



(S) y{x) =£<p® , f ) + # • 



Dopo ciò. definiamo la funzione (}(x , £) delle due variahili a; e f col porre : 

 Gr(xJ) = g(xJ) + X^~ 1 ff^) . 



la , |) è un polinomio di grado « — 1 sia rispetto ad x che rispetto 

 a £, per ogni valore della ,r (della J) è in (a . b) funzione finita e continua 

 della f (delle insieme alle sue prime n — 2 derivate, mentre la sua de- 

 rivata (n — l) mn ha una discontinuità nel punto x (nel punto f), è: 



p»-'G(^.m _ r y-'fl(.r,f) -| 



L -sr- 1 J^-o L ^? n - 1 . [ ' 

 r y-'a^ , g) ~i _ p"- 1 or.?.? n = j 



