— 343 — 



Considerando la (8) si perviene al risultato: 



Posto 



y(x) = f \{$) G(.r J)k, 



J a 



la funzione y(x) così definita soddisfa alla (1) e alle condizioni (4) nel- 

 l'ipotesi (7), ed è l'unica. 



Chiameremo la Gt(x , £), la funzione di Green relativa alle condi- 

 zioni (4). 



Si voglia infine costruire un integrale della (1) soddisfacente alle con- 

 dizioni (2) s supposta sempre verificata la (7). Poiché è supposta verificata 

 la (7) esisterà uno ed un sol polinomio in x di grado n — 1, soddisfacente 

 alle (2), diciamolo g(x). Allora la funzione y(x) definita dall'eguaglianza: 



y(x) = g(x)+ fW)G(*.$)#. 



soddisfa alla (1) e alle (2), ed è l'unica, poiché, supposto che y(x) sod- 

 disfi alla (1) e alle (2), la differenza: 



J a 



soddisfa all'equazione: 



yitù _ 0 



e alle (2), sarà cioè un polinomio di grado n — 1 soddisfacente alle (2). 



§ 2. — Un sistema di equazioni integrali lineari di Fredholm. 



Dopo il § precedente siamo in grado di dare un criterio per decidere 

 sull'esistenza di un integrale dell'equazione dilferenziale lineare ordinaria: 



(9) y^ = Pl (x) t n ~» + - +p n {x) y + f{x) , 



soddisfacente alle condizioni (2) nell'ipotesi (7), supposte le Pi{x) e f(x) 

 finite e continue in (a , b). 



Diciamo g{x) il polinomio in x di grado n — 1, che, nell' ipotesi (7), 

 esiste ed è unico, verificante le (2) e G(x , £) la funzione di Green relativa 

 alle condizioni (4). Esista un integrale y della (9) soddisfacente alle (2), 

 allora, pel § precedente si avrà: 



y{x) = g(x) + [\pm y^}\t) + - +j>„(?) y{ì) + />(£)] . *) tè, 



<J a 



cioè : 



(10) y(x) - J y^m G(x , £) dì = g(x) + f /(£) G[x , ?) #. 



Kendiconti, 1908, Voi. XVII, 1° Sem. 



46 



