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Abbiamo supposto le Pi{x) e f(x) 'funzioni finite e continue in [a , b), 

 perciò la y e le sue prime n derivate sono finite e continue in (a , b), e 

 per avere la G(x , £) le sue prime n — 2 derivate finite e continue in 

 (a,b), la (10) avrà di conseguenza le altre n — 2 equazioni: 



yw-T fpm y^m # = m + f « 



t'=wa ÒX J a àX 



i=i a àiC 



L'ultima equazione, spezzando in due i vari integrali che in essa com- 

 paiono, il primo esteso da a a x e il secondo da x a b , e derivando ri- 

 spetto a x, ha di conseguenza l'altra: 



f n - v (*) - f f W) t n - u ft) y " G .^r n # = 



t=l >V a J^C 



Ne ricaviamo che ogni integrale della (9), soddisfacente alle (2), è 

 soluzione delle n equazioni : 



(A = 0, 1 « — 1). 



Poniamo : 



(11) 



e consideriamo il sistema di equazioni integrali lineari nelle funzioni inco- 

 gnite y 0 (#) , yi{x) , ... , y n -i{x) : 



(12) ys (a?) + ! ~V 1 Cf u ( x , j) yi (£) = 9ìt ( x ) [k = 0 , 1 , ... , n — 1) . 



Se y è un integrale della (9) soddisfacente alle (2), ponendo: 



y* = y ao (A = 0,1,...,» — 1), 



si ha un sistema di soluzioni delle equazioni (12), come abbiamo visto, e 



