viceversa, se y 0 , y x , ... , y n ^i è un sistema di soluzioni delle (12), ponendo: 



y = y^ 



si ha: 



y™=y h (A=l,2,...,n — 1), 



come subito risulta osservando la forma, che per le (11), hanno le equa- 

 zioni (12), mentre y soddisfa alla (9) e alle condizioni (2), come risulta, 

 pel § precedente, dalla prima delle equazioni (12). 



Ne ricaviamo che : 77 problema della determinazione degli integrali 

 dell' equazione (9) soddisfacenti alle (2), nell'ipotesi (7), è perfettamente 

 equivalente al problema della risoluzione del sistema di equazioni inte- 

 grali lineari (12). 



Il sistema (12) à appunto un sistema di equazioni integrali lineari di 

 Predholm. Per cui non resta che a fare l' immediata applicazione dei risul- 

 tati da Fredholm ottenuti nel già citato suo lavoro, per ottenere i criteri 

 che volevamo. 



Consideriamo, insieme all'equazione (9), l'equazione: 



(13) y<"> =*Xlp t (x) y«~» + - +p n {x) y] + f{x) , 



contenente il parametro arbitrario X , di cui considereremo valori reali o 

 complessi. Valendosi dei risultati del Predholm si potrà costruire una tra- 

 scendente intiera D(A) i cui zeri: 



(14) X Ì ,X 2 ,...,X 



sono quei soli valori di X per cui non esisterà un integrale della (13) 

 verificante le (2) con le U affatto arbitrarie Per ogni altro valore 

 di X esisterà uno ed un solo integrale soddisfacente, comunque siano le U , 

 alle (2). Per cui : Condizione necessaria e sufficiente perchè la (9) am- 

 metta uno ed un solo integrale soddisfacente alle (2), supposte le U affatto 

 arbitrarie, è che sia : 



D(l)4=0. 



I valori (14) li potremo chiamare i valori eccezionali del parametro X 

 relativi all'equazione (13) e alle condizioni (2). 

 Dai risultati del Predholm si trae anche che: 

 Per ogni valore eccezionale h, di X esistono integrali dell'equazione: 



(15) =A|>(*) y ln ~ lì ^ VVn{x) y] , 



non identicamente nulli in (a , b), soddisfacenti alle (4), e viceversa, se ciò 

 è possibile, A è un valore eccezionale. 



Nella (15) e nella (13) X abbia un valore eccezionale A v , supposto 

 che i siano gli integrali linearmente indipendenti dalla (15) verificanti le (4), 



(') Sottintendiamo sempre l'ipotesi (7). 



