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perchè esistano integrali della (13) verificanti la (2), debbono le l x , ... , l n 

 soddisfare a i relazioni lineari, nel lavoro del Fredholm effettivamente co- 

 struite, se li , ..,1», soddisfano a quelle ì relazionagli integrali della (13) 

 verificanti le (2) dipendono linearmente da i costanti arbitrarie. 



Osserveremo, infine, che la teoria precedente può, senz'altro, anche ap- 

 plicarsi all'ottenimento d' un criterio per decidere sull'esistenza di m fun- 

 zioni y l , y 2 , ... , y m soddisfacenti al sistema di equazioni differenziali lineari: 



li=m l=r<k 



(16) y^ = £ pm{x) y^~ l) + fi(x) (t = 1 , 2 , ... , m) , 



fc=i i=i 



con le condizioni per la : 



d7) f Ww vfrjjfr) d* = i» ( f= ^r' m ) . 



y.= l J a \V = 1 , ù , ... , ìli/ 



Detta Gi(x , f ) la funzione di Green relativa alle condizioni (17) con 

 le U t > hi , & tutte nulle e gi(x) il polinomio di grado fa — 1 soddisfa- 

 cente alle (17), posto: 



/'m VGr,(#,£) , , „x 

 — — ^ — = . ?) 



9W) + J a /iW —j — té = <fij{oo) 



per ogni sistema di soluzioni del sistema di equazioni integrali lineari nelle 

 ìli -J- n% -j f- », funzioni incognite ijij(x): 



Jl=m l=n\—\ /"& 



(18) y#(*)H-'Z Z fw(% y*i{%) d % = 9iA x ) 



k=l 1=0 J a 



li = 1 , 2 , ... , m 



\y = o , i , ... , », — ì 



si otterrà un sistema di soluzioni delle (16), ponendo : 



e viceversa, per ogni sistema di soluzioni delle (16), si otterrà un sistema 

 di soluzioni delle (18), ponendo: 



Anche in questo caso, dunque, si saprà costruire una trascendente m- 

 fiera D(A) per la quale la condizione: 



(i :== 1 j 2 , ... , m 

 j = o , 1 , ... , m — ì 

 k = 1 , 2 , ... , m 

 1 = 0 ,1, .:. ,n H — 1 



■ 



D(l) + 0, 



