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il movimento di un punto sopra una superficie il cui elemento lineare sia 

 dato da 



ds 2 = kdq\-\- 2B dg x dq 2 -f C dq\ . 



L'equazione U(q ì , q 2 ) = 0 ci rappresenta allora una curva / situata 

 sulla superficie: noi supporremo che, lungo l, la tangente e la curvatura 

 variino con continuità e che la curvatura sia finita. Ogni punto di l è una 

 posizione di equilibrio pel punto mobile, avendo noi ammesso che TJ sia 

 massima sulla curva stessa. Ora è sempre possibile di trasformare le coor- 

 dinate q x e q 2 in altre coordinate curvilinee x , y sulla superficie, tali che 

 x ed y siano ortogonali e alla curva /, cioè U(/y, , q 2 ) = 0 , corrisponda la 

 linea y = 0. Basterà porre, ad esempio, 



y =U(#i , g 2 ) , 

 x = F(q l , q 2 ) , 



dove F sia scelta convenientemente. 



Entro una certa striscia a, di ampiezza finita, e che comprenda nel 

 suo interno la linea x(y = 0), la funzione U è supposta dapertutto nega- 

 tiva, mentre è nulla sulla linea x. Avuto riguardo, pertanto, alle enunciate 

 proprietà della U, questa sarà del tipo 



u = — Ky) ■ , y) , 



dove X{y) è sempre nulla per y = 0, cioè su x, ed è sempre positiva fuori 

 della linea x\ ii{xy), sulla x, è nulla o infinita solo in un numero finito 

 di punti, ma fuori di x è sempre positiva. Ammetteremo inoltre che, dentro o\ 



le funzioni X e a siano derivabili e che — sia ordinariamente finita. Si 



~òx 



tratta di provare che ogni punto della linea x, in particolare il punto x = 0< 

 y = 0 (ciò che non toglie affatto generalità alla quistione) è una posizione 

 di equilibrio instabile, nel senso che precisiamo qui appresso. 



Sia 0(x = 0 , y = 0) una posizione di equilibrio d' un punto materiale, 

 e siano x 0 , y 0 e x' 0 , y' 0 rispettivamente le coordinate iniziali e le compo- 

 nenti della velocità iniziale del punto, le quali in valore assoluto siano in- 

 feriori rispettivamente ad e e k, essendo e e k grandezze piccole ad arbitrio. 

 Il punto, soggetto all'azione delle forze, provenienti dalla funzione U, e alle 

 condizioni iniziali specificate, prenderà a muoversi : se per tutti i valori 

 possibili di x 0 , y 0 e di x' 0 ,y' 0 , scelti comunque ad arbitrio, purché infe- 

 riori in valore assoluto ad s e k, nel moto susseguente del punto avverrà 

 che x , y, in valore assoluto, si conservino sempre inferiori ad rj, quantità 

 prefissata piccola a piacere, diremo che 0 è una posizione di equilibrio sta- 

 bile. Se, invece, non per tutti, o per nessuno dei suddetti valori di x 0 , y 0 



