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e di x' 0 ,y' 0 si verificherà che le x , y si conservino inferiori ad rj, diremo 

 che in 0 l'equilibrio del punto è instabile. * 



3. Alla dimostrazione dell' instabilità, nel caso che è qui trattato, gio- 

 verà premettere un lemma. 



Un punto mobile sulla linea x{y = 0), si trovi inizialmente nell'origine 

 (x = 0) con velocità x' 0 dell'ordine di k, ìc indicando una quantità piccola 

 a piacere. Sul moto del punto, a partire dall' istante iniziale, facciamo una 

 delle due ipotesi seguenti : 



a) sia x' 0 y> 0 e x" > 0 ; se x" è talvolta negativa, risulti sempre 

 il suo valore assoluto inferiore a M/c 2 , dove M rappresenta una grandezza 

 finita e positiva (') ; 



b) sia x' 0 <C 0 e x" <C0 ; se però x" è talvolta positiva, si abbia 

 sempre x" <C M& 2 . 



Posto che, ad un certo istante, il moto del punto si arresti, detto t\ 

 il valore del tempo, per x' = 0 , si tratta di provare che si avrà sempre 



(i) |#;i>|^|— wch, 



finché t non supera t x . 



Basterà, evidentemente, limitare la dimostrazione alla ipotesi (b). 



Intanto, per t — 0, la (1) si riduce all'identità |#ó| = [#ó|- Immagi- 

 niamo che la diseguaglianza (1) sia verificata al tempo t, compreso fra 0 

 e ti : proveremo che la (1) sarà verificata anche al tempo t -j- t, essendo r 

 positivo, qualunque, tale però che nell' intervallo t si verifichi una sola 

 delle due condizioni x" << 0 , o , se x" è positiva, x" < M/c 2 , e t -{-t non 

 superi t x . 



Se, ex. g., durante il tempo t, è x" <C M/c 2 , avremo 

 x'dt < J ÌILkWt , ossia < M/c 2 r ; 



o, ancora, 



\x' t+x — x' t \ < M/c 2 zr ; 



donde, poiché per le ipotesi ammesse x' t + T e x\ sono dello stesso segno, 

 risulta 



|.^|>|^|-M/c 2 r; 



ossia, a fortiori, per la (1), 



\x' t+ ,\>\x[\ — Mk\t + x). 



0) Nel seguito della presente Nota, M sarà sempre il simbolo di una quantità po- 

 sitiva e finita, fatta astrazione della sua grandezza effettiva. 



