DO 



2 — 



o, ancora, 



Ma 

 (3) 



|%)-fe|<# 2 

 = M ; dunque 



u(x , y) 



|%)./^|<M£ 2 . 



Ciò premesso, o il punto in virtù del movimento che possiede esce dal 

 campo C , e l' instabilità allora è senz'altro provata. 0 la traiettoria del 

 punto, come vogliamo ammettere, è compresa nel campo C , in cui sussistono 

 le diseguaglianze scritte innanzi; scriviamo allora l'equazione di Lagrange 

 relativa alla variabile x; si ha 



ax -\--xx 1 — + xy — 

 '2 l>x 1 ~2>y 



1 , 2 Db 

 2* ~òx 



donde 



ss' — 



1 i \ 1 ro Dd , r ~<> a 



-%)^- i ^ 2 — -^y — 



I >t2L 



2 V Dx 



Segue dunque, stante le ipotesi fatte su a e b e le loro derivate, l'or- 

 dine di grandezza riconosciuto per le x' , y' e la diseguaglianza (3). che 



\x"\<m\ 



e, per il lemma, l' instabilità è provata. 



6. Togliamo ora la restrizione fatta che sia fi diversa da zero nel punto 

 (x — 0 , y = 0) e supponiamo /*(0 , 0) = 0 e altrove, in C , sia fi anche 

 infinita sulla linea x. Quanto a \i x , entro C, sia magari infinita in qualche 

 punto, ma abbia un segno sempre determinato: sia, a cagion d'esempio, 

 fjb x <CO. Allora lanciamo il punto da 0 con x' 0 > 0 . Dalla espressione di 

 x" risulta 



(4) 



x' 



Kv) flx , Q(#' ? y') 



a a 



Q indicando una espressione quadratica omogenea nelle x , y' . Ma 



Q(x' , y') 



< Mk 2 , 



quindi, osservato che il primo termine a secondo membro, in (4), è positivo, 

 si ha 



— Kv) ^ 



(5) 



\x"\< 



Ciò posto, o a secondo membro in (4) prevale sempre, finché x' non si an- 



