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nulla, il primo termine, e allora x' è positivo e siamo nel caso (a) del 

 lemma. 0 prevale sempre il secondo termine; ma allora yda (5), a forliori, 

 risulta |#"|<2M/fc 2 e si applica ancora il caso (a) del lemma. 0, infine, 

 prevalgono alternativamente ora 1' una ora l'altro e ancora lo stesso lemma 

 dimostra l' instabilità. 



Se fosse ^^O, lanceremmo il punto da 0 con x' fì <^0; in questo 

 caso però il primo termine a secondo membro in (4), sarebbe negativo e 

 alla (4), invece che la (5), converrebbe associare la diseguaglianza 



\x"\< 



-f- ÌILk 2 



e si ripeterebbe il ragionamento di poco fa, applicando il caso (b) del lemma. 



7. Abbiamo supposto finora che il punto 0(x = 0 , y = 0) fosse situato 

 dentro C , a distanza finita dal contorno di questo campo, contenuto nella 

 striscia <s e nel quale erano verificate certe ipotesi per la funzione p(xy) 

 e per la sua derivata [i x . Ora vogliamo togliere questa restrizione; ma 

 ammetteremo che se 0 è sul contorno di C , il contorno non faccia parte 

 della linea x, talché sulla porzione di questa contenuta in C, si ha sempre 

 o x > 0 oppure x <C 0 . 



La necessità di trattare a parte il caso attuale deriva da ciò, che 

 quando 0 si trova proprio sul contorno di C , nasce il dubbio che lanciato 

 inizialmente da 0 il punto mobile, questo attraversi il contorno nelle adia- 

 cenze di 0 e quindi, uscito dal campo entro il quale sussistono le nostre 

 ipotesi, non si possa poi più nulla concludere circa la instabilità in 0. 



D'altra parte, siccome attualmente, dentro C, la linea x ha sempre lo 

 stesso segno, non possiamo più disporre del segno della velocità iniziale x 0 . 

 Mostreremo tuttavia che il nostro metodo è sempre applicabile ; ma gioverà 

 premettere alcune considerazioni generali sulla striscia cr, le quali finora 

 non era stato necessario di esporre. 



Ricordiamo che dentro <r il prodotto X(y) n(xy) è sempre positivo, 

 fuorché sulla linea x(y = 0) in ogni punto della quale è nullo ; quindi se 

 poniamo 



%) v(z ,y) = y m F(y) i y) 



dove m è positivo e ¥(y) è positiva, finita e non nulla in tutta a, com- 

 presi i punti della linea x , la funzione ii{x , y) non ammetterà radici reali 

 nella striscia <r, esclusi eventualmente un numero finito di punti della linea x. 



Dippiù, essendo — = — Xfx y — X y p. nulla, per y = O ì è chiaro che dovrà 

 ~òy 



aversi m^>l. Io dico ora che se k è sufficientemente piccolo, x ed y non 

 possono essere mai finite entrambe, in una porzione qualsiasi del punto 

 entro e. 



