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Infatti, dall'equazione delle forze vive 

 si ha sempre 



(6) y m V{y)ii{xy)<k*. 



Ammesso che, ad un certo istante, si abbiano % = « , y = /? , con a 

 e /S entrambe finite, dovremo avere 



r F((?)M«^)<* ? ; 



donde 

 ossia 



iu(a , /?) <^ quantità piccola a piacere. 



Ciò importa che a e § siano assai prossime alle radici di [i{xy), contra- 

 riamente alle ipotesi fatte su fi{xy). 



Ma, d'altra parte osserviamo che y non può essere mai finita entro tf, 

 tinche k è abbastanza piccola. Invero, se potesse aversi y = c, con c finita, 

 sarebbe /a(x , c) finita e quindi si avrebbe 



c m< J l 



^ ¥(c) fi(x , c) ' 



risultato in contradizione con le ipotesi ammesse. 



Ebbene proveremo che, disponendo convenientemente di k , la y può 

 essere ridotta in valore assoluto minore di t], piccola a piacere, di guisa 

 che la traiettoria del punto sia contenuta entro una striscia di larghezza 

 inferiore a 2»j, la quale comprenda la linea x. 



Infatti, poiché prefissato k , ad ogni valore di t corrisponderà una certa y, 

 si potrà sempre determinare, per ciascuna coppia di valori t e y, un nu- 

 mero r, pel quale si abbia 



\y\ = v- r - 



Vediamo per quali valori può variare r. Supponiamo dapprima r^>0: 

 vanno allora esclusi i valori r= 1 e r > 1, per -i quali risulterebbe y finita. 

 Sia r compresa fra 0 ed 1, e poniamo r=l — q, con q positivo; avremo 



e quindi da (6) si ha 



k m ? ¥(k?) n(a , kP) < k* . 



