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conosciuto un integrale particolare di (4), esso medesimo scritto in v , t 

 a' , V , . . . sarà integrale particolare di (7), e trasformato in u e x , a , b , . . . 

 mediante le (6), e le relazioni che legano le a! , b' , . . . alle a , b , . . . , darà 

 luogo ad un altro integrale particolare di (4), diverso in generale dal primo ; 

 e perciò di (4) sarà conosciuto l'integrale generale. 

 Ponendo 



t ì f(t,a,b ) ...) = F(t,a,b ) 



la funzione F deve soddisfare all'equazione funzionale 



(8) ¥(t,a,b,...) = -F(j,a\b',...y 



Di F soddisfacenti a tale equazione se ne possono formare di vari tipi, 

 e cioè può porsi p. es. 



, Q v a 0 -f- a x t -4- a* t 2 -f- • \-a n t n 



W _ bo + bit + btt H \-b n t n 



la quale resta appunto inalterata ponendo — - in luogo di t, e scambiando fra 



loro a»- s con a s e £„_ s con b s . 

 Può porsi 



(10) p = <p^,I^ 



essendo <Z> il simbolo di una funzione simmetrica; e può porsi anche: 



(11) F = kt a + Bt b -] 



la quale resta inalterata mutando t in ■— e a , b , . . . in — — è,... 



Sia allora determinata una di queste F ; 1' equazione di Riccati corri- 

 spondente sarà 



(12) s' -B?? = x- z ¥(x), 



e, se di questa è conosciuto un integrale particolare s x , con una quadratura, 

 dalla (5) si otterrà il corrispondente integrale particolare U\(% ,a,b ,...) 

 dell' equazione 



(13) ^ = x-*nx).u, 



indi da questo col mutamento di x in — , di a,b,... in a', b r , ... e di u ì 

 in — (indicando con u 2 un altro integrale particolare dell'equazione (12), 



