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u , o , e nelle loro derivate. Altrettanto 'avverrà della loro differenza, ossia di 



jmn , ì)r è «n _J V__ 



e quindi anche di 



mn ~à W 



a 



_ r * ~òx r ~òy s J 



2< s n = «G( y )- y H( M ). 



Ciò dimostra appunto il teorema enunciato. così estesa ad equazioni 



differenziali non identiche alla corrispondente equazione aggiunta la pro- 

 prietà di potersi dedurre da un problema di variazione. 



È però da osservarsi che questo teorema, che pure mi sembra abba- 

 stanza interessante, non corrisponde ad alcuna proprietà di minimo, e che 

 il suo significato è semplicemente il seguente : 



Se la u soddisfa alla R(u) = 0 , il valore di 3(u , v) è indipen- 

 dente dalla speciale funzione v considerata, e dipende soltanto dalla w, e 

 dai valori imposti su c alla v , e alle sue prime k — 1 derivate normali. 



Un teorema analogo vale se v soddisfa alla G(v) — 0 . 



2. Ciononostante, dal precedente teorema si può dedurre qualche pro- 

 prietà di minimo ; e in particolare se ne può dedurre, se si ammette il prin- 

 cipio di Dirichlet, qualche notevole teorema di esistenza. 



Sia L = U -f- V -f- AF , dove X è una costante, U , V , F sono rispettiva- 

 mente una forma quadratica nella u e nelle sue derivate, una forma qua- 

 dratica nella v e nelle sue derivate, e una forma bilineare della u e sue 

 derivate, e della v e sue derivate. La L, considerata come forma quadra- 

 tica complessivamente delle u , v , e delle loro derivate, sia una forma defi- 

 nita, p. es. una forma positiva. 



Posto 



3(u , v) = JjX disc dy , 



si scriva l'equazione: 



63 = 0. 



Per i risultati precedenti questa equazione equivarrà alle: 

 (8) 



] h(u) + XG(v) = 0 

 ) XE(u) + g{v) = 0 



dove le G(v) , B.(u) sono polinomi aggiunti. Ora, per le ipotesi fatte, nel 

 caso attuale ha un significato effettivo il problema di Dirichlet per l'inte- 

 grale 3(u , y), il problema cioè di trovare le funzioni u , v , soddisfacenti 



