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Così si ottiene che, perchè possa aversi una condizione di minimo, se è 

 P = i i -{- pn — 2 S A s 



deve essere 



r + r' = 2 r A,- 



e se è 



D = ì — i' -\-p71 — 2 S A s 



deve essere 



r — r' = 2 r A r . 



Allora la condizione di minimo è 



cos r cos r' 



cos l COS l 



ed essa con 



sen r sen r' 



sen 1 sen 1 



dà r = r' e quindi i — i\ nella quale rientra la r = i r' = i' , poiché porta 

 seco 



i = r = 0 i! — r' = 0 . 



Quando si abbia 



r + r' = 2A D = * -f i' -}- fn — 2k 



la condizione 



dà un vero e proprio minimo, mentre quando si abbia 



r — r' = 2 A D = i — i' -\-pn — 2k 



la condizione 



r = r 



per essere 2 r A r = costante, 0 è ^ r A r =f=^ e allora non si hanno soddisfatte 

 le condizioni di minimo 0 è ^A = 0 e allora si ha costantemente 



D = fix — 2k 



e non si ha nessuna colorazione in un raggio bianco che abbia attraversato 

 il poligono. Che infine si tratti proprio di un minimo e non di un massimo 

 si ha del segno positivo della derivata seconda di D : consideriamo di fatti 

 D,z',r, ad esempio come funzione di r' allora si ha 



d 2 D (IT , n cos 8 r .~1 . 



— — = n \ : — sen r A ■ r — sen 1 + 



ar 2 ( cos 1 1_ cos 2 1 J 1 



.IT , n cos 8 / . r ~l) 



H 7 ~ sen r + — sen e [ 



cos 1 |_ 1 cos 2 1 J ) 



la quale relazione per i = i' e r = r' è positiva. 



