— 572 — 



per modo che, malgrado lo strappo, rappresentato dalla discontinuità degli 

 spostamenti alla supposta superfìcie, gli elementi di dilatazione, o di defor- 

 mazione, e le tensioni interne, restino distribuiti con continuità nel corpo 

 considerato. È la specie di spostamenti elastici su cui richiamò pel primo 

 l'attenzione Weingarten ('), per farne oggetto principalmente di ricerche geo- 

 metriche. Io muovo dallo stesso concetto, per trattare, innanzi tutto, la que- 

 stione della possibilità degli spostamenti medesimi. 



2. Avverto ch'io intendo la considerata posizione d'equilibrio elastico 

 del supposto corpo determinata mediante un corrispondente spostamento da 

 una posizione naturale, con che lo spostamento d'ogni particella infinitesi- 

 male riesce composto, nel noto modo, da un certo spostamento rigido, e da 

 un certo spostamento dilatorio, aventi per origine la posizione naturale della 

 particella. Immaginiamo, ciò premesso, per ogni punto (x , y , z) del campo 

 rappresentante la posizione naturale, o di riferimento, del corpo elastico con- 

 siderato, i parametri di dilatazione, e siano queste funzioni regolari ( 2 ) dello 

 stesso punto. È noto che essi dovranno soddisfare alle così dette equazioni 

 di Saint Venant( 3 ): in virtù delle quali, mediante le loro derivate prime, 

 si potranno assegnare, pel considerato punto generico (x , y , z) , i differen- 

 ziali totali (esatti) 



i cip =Pidx -\-p 2 dy -j- p 3 dz 



(1) < dq = q x dx -\- q 2 dy -J- q 3 ds 

 ( dr — r x dx -f- r % dy -j- r 3 dz 



delle componenti p , q ,r della rotazione relativa allo stesso punto (x,y ,z). 

 In seguito a che, concepite formate le p , q , r , coll'aiuto di queste, e dei sud- 

 detti parametri di dilatazione, si potranno ancora assegnare, pel considerato 

 punto {x , y , z), i differenziali totali (esatti) 



( dì; == £i dx -j- £2 dy + £ 3 dz 



(2) < drj = r a dx -j- r] 2 dy -j~ rj 3 dz 

 [ d^ = Cidx-{- £ 2 dy + £ 3 dz 



delle componenti £ , -q , f dello spostamento relativo al punto medesimo. 



Ciò premesso, sia, in primo luogo, il campo rappresentante il corpo 

 semplicemente connesso. Allora, per ogni cammino rientrante C , le (1) for- 

 niscono 



{p, dz +p 2 dy-\- ih dz) = 0 : 



Jc 

 ecc. 



(•) V. questi Rendiconti, fase, del 3 febbraio 1901. 



( s ) Uniformi, continue, finite e dotate di derivate simili fino all'ordine che occorre 

 di considerare. Nel presente caso questo è il secondo. 



( 3 ) V. per esempio Mavcolongo, Teoria dell'equilibrio dei corpi elastici. Milano, 

 Hoepli, 1904, cap. Ili, § 6. 



