— 573 — 



con che la p , q , r riescono, nello stesso campo, funzioni regolari dei rela- 

 tivi punti. Concependo introdotte queste funzioni nelle (2), esse forniscono, 

 alla lor volta, 



J c (?i dx + dy + & <&) = 0 : 

 ecc. 



con che anche le £ , t] , £" riescono funzioni regolari. Se ne conclude che, se 

 il corpo è rappresentato da un campo semplicemente connesso, a parametri 

 di dilatazione regolari non possono altrimenti corrispondere che spostamenti 

 regolari: e, per conseguenza, non sono possibili spostamenti della specie con- 

 siderata. Questa proposizione, accennata da Weingarten ('), si riduce all'ana- 

 logo teorema di Volterra per gli spostamenti polidromi ( 2 ). 



Supposto invece il campo molteplicemente connesso, la (1), per ogni 

 sistema di cammini semplici non appartenenti a circuiti che formano il con- 

 torno completo di una calotta compresa nel campo, ma formano a due a due 

 il contorno di una zona compresa nel campo (cammini riducibili l'uno 

 all'altro) forniscono 



( p,. dx -j- p 2 dy + Ps d*) = ^p 



(3) I (q x dx -j- <lìdy -f- q 3 ds) = Jq 



Jc 



(r x dx + r 2 dy -j- r 3 ds) = Jr, 



dov*. Jp , Jq , Jr indicano costanti dipendenti dal sistema di cammini, che 

 dovranno supporsi generalmente non nulle. Così le p , q , r potranno essere 

 rappresentate formalmente da funzioni polidrome, aventi uno 0 più moduli 

 fondamentali di periodicità, a seconda dell'ordine di molteplicità di connes- 

 sione del campo. Ma il significato meccanico delle stesse p , q ,r — quello 

 cioè di componenti della rotazione relativa al punto (x,y,z) — non sembra 

 consentire che, per ogni punto del campo, tendendovi per cammini diversi, 

 che partono da un punto, in cui si assuma un certo valore come valore iniziale, 

 possano ottenersi limiti diversi, mentre consente che questa circostanza si 

 verifichi per certi punti, che fungeranno da punti di discontinuità della ro- 

 tazione. D'altra parte, se immaginiamo ridotto il campo semplicemente con- 

 nesso, mediante diaframmi intersecanti i singoli sistemi fondamentali di 

 circuiti fra loro riducibili, nel nuovo campo le p,q,r riesciranno definite 

 come funzioni uniformi e discontinue, presentando ad ogni diaframma una 

 discontinuità di prima specie, caratterizzata, conformemente alla (3) dalle 



( l ) Loc. cit. 



(*) V. questi Kendiconti, fase, del 5 febbraio 1905. 



I 



I 



