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Nella mia Memoria letta l'anno scorso alla Bri^ish Association a Lei- 

 cester ('), io per il primo affrontai queste questioni. Il problema generale 

 che ora sono riuscito a risolvere, sino a guai grado sia possibile che i 

 limiti a destra di un punto differiscano da quelli a sinistra, non era 

 allora proposto. Questo problema però ricevette una risposta preliminare, in 

 quanto io provai che i limiti superiori a destra e a sinistra dello stesso 

 punto coincidono, eccetto al più in un insieme numerabile di punti, e che 

 lo stesso vale pei limiti inferiori. Adottando il punto di vista sinora in uso 

 di classificare i punti di discontinuità secondo che tutti od alcuni di questi 

 limiti estremi differiscono tra loro e dal valore della funzione nel punto, 

 questo risultato era espresso nella forma seguente: Non c'è distinzione di 

 destra e sinistra nei punti di discontinuità, eccetto eventualmente in un 

 insieme numerabile di punti. Mi propongo ora di dimostrare che ciò può 

 intendersi nel senso più generale che, eccettuato eventualmente un insieme 

 numerabile di punti, tutti i limiti da una parte sono anche limiti dall'altra. 

 In altri termini, considerando i limiti da una parte di un punto come i 

 valori in questo punto di una certa funzione a più valori, e così dall'altra 

 parte, queste due funzioni possono differire solo in un insieme numerabile 

 di punti. 



2. In un punto qualunque P denoti F L (P) uno dei valori a cui tende 

 come limite la funzione ad un valore f(x) quando x si avvicina a P come 

 punto limite dalla sinistra. In corrispondenza al punto P avremo allora, in 

 generale, un insieme di valori di F L (P), che, come si vede facilmente, è 

 chiuso. Così il simbolo F L (#) deve riguardarsi come rappresentante una fun- 

 zione di x che ha più valori in ogni punto P. Così definiamo la funzione 

 a più valori ~F R (x), scambiando « destra » e « sinistra » . 



Il limite superiore dei valori di F L (P) in P è il valore della funzione 

 associata limite superiore a sinistra y L (P), e il limite inferiore è il valore 

 della funzione associata limite inferiore a sinistra t/> l (P). Similmente a 

 destra abbiamo <p R (P) e ipJ[P) . Le proprietà caratteristiche di queste fun- 

 zioni formano l'oggetto del lavoro già citato, e in particolare vi si dimostra 

 che 9> L e ip^ differiscono di (p R e ip R al più in un insieme numerabile di 

 punti. Mi propongo ora di dimostrare il teorema più generale, che le fun- 

 zioni a più valori F L (#),F R (^) possono differire solo in un insieme nu- 

 merabile di punti. 



3. A tal scopo suddivido i valori della funzione a più valori a destra 

 come segue. F L (P) sia uno qualunque dei valori della funzione a più valori 

 a sinistra nel punto P, diverso da <£ L (P) e ^ L (P). Ciò determina due dei 

 valori della funzione a più valori a destra, p. es. G R (P) e H R (P), che pos- 



(') W. H. Toung, Some results in the theory of fmctions of a real variable, 1907, 

 Eeport of the Erit. As. (estratto); On the distinction of right andleft at points of dis- 

 continuity, 1907, Quarterly Journal of Math. 



