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sono naturalmente coincidere, definiti come i più prossimi di tali valori al 

 valore F L (P) considerato, e tali che: 



G R (P) < P L (P) < H R (P). 



Sia k una quantità positiva scelta comunque, n un intero qualunque, 

 e sia S l'insieme dei punti tali che, se P è un punto qualunque di S, vi 

 è un valore F L (P) della funzione a più valori F L (^) in P tale che 



(1) G B (P) + k < F L (P) < H R (P) — k. 

 e nello stesso tempo 



(2) — »<P L (P)<». 



Dimostro che S è numerabile. Ne segue che V insieme limite esterno di 

 tutti gli insiemi S per tutti gli interi positivi n è pure numerabile. Sic- 

 come Y>l(P) <C Pl(P) <C 9>l(P) , sicché F L (P) è finito, questo insieme non 

 è altro che l'insieme di tutti i punti per cui sussiste la (1). Si ha inoltre 

 che anche l'insieme limite esterno di questi insiemi per tutti i valori 

 una successione decrescente e tendente a zero è numerabile; 

 ma questo non è altro che l' insieme di tutti i punti P in cui c' è un va- 

 lore F L (P) che differisce dai corrispondenti G R (P) e H R (P). Combinando 

 ciò col risultato che ^ L = cp n , tp h = tp R eccetto in un insieme numerabile 

 di punti, resta provato il teorema enunciato, cioè che F L (^) differisce da 

 F B (x) solo in un insieme numerabile di punti. 



4. Supponiamo ora, se è possibile, che S non sia numerabile, e quindi 

 (per un lemma dimostrato nel mio lavoro citato innanzi) che abbia un com- 

 ponente U concentrato da ambe le parti e più che numerabile in ogni in- 

 tervallo contenente uno dei suoi punti. 



Sia P un punto di U. Allora, poiché P è limite di punti di U posti 

 a destra di P, c'è una successione di punti di U avente P come limite a 

 sinistra, in ciascuno dei quali, per la definizione dell' insieme S 



(3) — »<Fi. 



Ora, poiché F L è definita essa stessa come limite di f{x), ogni limite di 

 F L (^) per x tendente a P è limite di f(x), e quindi non sta fra G R (P) ed 

 H R (P), giacché per la definizione di queste quantità nessun limite di f(a) 

 a destra di P sta fra esse. Perciò o si ha 



(4) H R (P)<w, 

 oppure 



(5) — w<G B (P). 

 Di qui, per le (1), (2), segue o 



(fi) — n<¥ h (?)<n — k, 



oppure 



(7) — w + £<F L (P)<w. 



