Dunque in ogni punto P di U deve sussistere almeno una delle disegua- 

 glianze (6), (7). 



Se consideriamo i due insiemi di punti di U in cui ha luogo una di 

 queste diseguaglianze, questi due insiemi, che possono naturalmente avere 

 punti comuni, compongono l'insieme U. Perciò, se essi fossero ambi due nume- 

 rabili, lo sarebbe anche U. Quindi, se la nostra ipotesi è vera, uno almeno 

 di questi insiemi è più che numerabile, e perciò, per la stessa ragione di 

 prima, contiene un componente Ui concentrato da ambe le parti e più che 

 numerabile in ogni intervallo contenente uno dei suoi punti. 



Confrontando le diseguaglianze (6), (7) colle (2), vediamo che il campo 

 di variazione di questi valori F(P) che soddisfanno alla (1) è ridotto da 2n a 

 2n — k, ossia — come può dirsi usando la parola « oscillazione » in senso 

 esteso, giacché F L (P) non è una funzione ad un valore — l'oscillazione di 

 F L (P) nell'insieme Ui è minore di 2n — k, mentre in U si sa solo che è 

 minore di 2>i. 



L' « oscillazione » così definita è per la sua stessa natura una quantità 

 positiva o nulla se l'insieme dei punti P considerati contiene qualche punto. 

 Ma è chiaro che, ripetendo per Ui il processo applicato ad XJ, otterremo 

 un insieme U 2 della stessa natura, in cui l'oscillazione di F^(x) sarà minore 

 di 2n — 2k, poi un insieme U 3 in cui sarà minore di 2n — 3k , ecc.; sicché 

 avremo infine un insieme U; in cui l'oscillazione sarà negativa, il che è in 

 contraddizione col fatto che U; è più che numerabile. Così l' ipotesi primitiva 

 che S non sia numerabile è inammissibile, ciò che prova il risultato voluto. 



5. È da notarsi che nella dimostrazione precedente non si è supposto 

 che la funzione ad un valore f(x) sia limitata, od anche solo finita. L'ar- 

 tificio di omettere i limiti superiore e inferiore in ogni punto bastò per 

 assicurarci che è finita dappertutto e quindi in ogni punto x sta fra 



— n ed n per un certo valoredell' intero positivo n dipendentemente da x. 

 Per completare la dimostrazione si dovette far uso del risultato precedente- 

 mente stabilito, che <p L , i/^ L differiscono da g> R , ip* al più in un insieme nu- 

 merabile di punti. Per l'importanza del teorema, ne diamo, per il caso in 

 cui f(x) è una funzione limitata, un'altra dimostrazione non fondata su quel 

 risultato. 



In questa dimostrazione F L (P) denota qualunque limite di f(x) a sinistra 

 di P, compresi i limiti superiore e inferiore di questi limiti, e noi conside- 

 riamo l'insieme S dei punti P tali che vi è un valore F L (P) per cui 



(1) G R (P) + k< F L (P) <C -Hr(P) — k . 



Se S non è numerabile, contiene un componente U concentrato da ambe 

 le parti e più che numerabile, in ogni punto del quale ha luogo la (1). Quindi, 

 per la definizione del limite a des;ra di P, può trovarsi un intervallo d t 



