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avente P come estremo di sinistra e tale che per tutti i punti x interni 

 ad esso sia o 



(2) f{x) < G B (P) + {k < F L (P) - * A, 

 oppure 



(3) F L (P) + \ k < H R (P) - i k < f(x) . 



Poiché U è concentrato da ambe le parti, questo intervallo d x contiene 

 punti interni appartenenti ad U, in ognuno dei quali, per le (2), (3), o si ha 



(4) F L (^)<F L (P)-|-£, 

 oppure 



(5) F L (P) + ^<F L (^). 



Così, se la (4) non sussiste in tutti i punti di U posti nell' intervallo 

 d 1 , può trovarsi in di un punto P, di U tale che 



(6) F L (P) + U<F L (P,). 



Applicando a P, lo stesso ragionamento fatto per P, o troviamo un 

 intervallo d 2 contenente punti di U in ognuno dei quali 



(7) F L (x) < FKPO - i k < F L (P) - k, 

 oppure troviamo uq punto P 2 di TJ tale che 



(8) F L (P) + k< F L (P,) + \ k < F L (P 2 ) . 



Questo processo può ripetersi indefinitamente; ma, la funzione ad un 

 valore f(x) essendo limitata, lo è anche F L (^), e quindi c'è un intero mas- 

 simo determinato n tale che è possibile trovare un punto per cui 



F L (P)-fl^<F L (^). 



Il ragionamento usato mostra dunque, che dopo n -f- 1 passaggi al più 

 troveremo un intervallo d, contenente punti di U, per ognuno dei quali 



(9) F L (x) < F L (P) - 1 (n + 1) k < F L (P) — \k. 



Similmente, presso un punto Q dell' insieme U in questo intervallo d , 

 troviamo, dopo un numero finito di passaggi, un intervallo d' entro d, con- 

 tenente punti dell' insieme U, in ognuno dei quali 



(10) V h (x) < F L (Q) - \ k < F L (P) — k. 



Continuando così, dovremo trovare dopo un numero finito di passaggi 

 un intervallo, contenente punti di U, in ognuno dei quali 



F(^)<F L (P)-|(^ + 1)A-, 

 il che, come si è già detto, è impossibile. Dunque l' ipotesi primitiva che 



