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quello relativo all'equazione di secondo' ordine 



(2) y'\x) + A(x) y\x) + B(a?) y(x) + G(x) = 0 . 

 Scriviamo l'equazione integrale 



(3) y(x) = F(«) + \Ye«p{ì) + y(i?) * , 



e vediamo se ci è possibile determinare le funzioni p , q , F (a meno, bene 

 inteso, di due costanti arbitrane), in modo che la soluzione di (3) coincida 

 coli' integrale di (2). 



Nel caso dell'equazione lineare d'ordine n , avremmo, invece del k{x , 2?) 

 che figura nella (3), posto 



k{x , £) = e x p 0 ($) + ^,(1) + * aV p 2 (£) H h e a "" , ^„_ 1 (|) , 



rappresentando con a una radice primitiva n ma dell'unità. 



Per determinare p , q , F secondo l' intenzione dianzi espressa, incomin- 

 ciamo col derivare (3) rispetto ad x . Troviamo subito 



y \x) = F{x) + f - <tè 



-f- [_e x p(x) -f- e -a; g(<r)] . 

 Derivando anche quest'equazione, troviamo 



*"(*) = F\x) + pi + e-*q{$y] V ($) dS 



(4) + le x p{x) — 



-j- [e x p{x) -f- • 



Fra quest'equazione e la (3) noi possiamo agevolmente eliminare la gran- 

 dezza j [_e x p(%) -f- e~ x q{£)~] y{%) di; , sostituendola con y(x) — F(#); dunque 

 la (4) si può scrivere 



y '\x) = ¥'(x) + y(x) — Ì(x) + ) 2 le*p(x) — <r x q(x)l 



+ + 1 y(#) + -f ér*^)] y'(#) • 



Ora poniamo 



— A.(x) = e x p(x) -f- e~ x q(x) 



(5) { — B(#) = 1 + 2 — e- x q(x)~] + e^» + e-y(a?) 



— C{x) = F » — F(#) . 



