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Quest'ultima equazione (5) si sa integrare, dunque possiamo ritenere 

 'F(x) come nota, a meno beninteso di due costanti arbitrarie, sulle quali 

 abbiamo già posto attenzione. 



Rimangono le altre due equazioni (5) per determinare p e q. La loro 

 determinazione sarebbe alquanto scomoda se non supponessimo A(#) deriva- 

 bile: vogliamo supporre che A(x) sia derivabile; e allora dalla prima (5), 

 per derivazione, deduciamo 



(6) — A'(a?) = e x p(x) — e~ x q(x) + e x p\x) + e- x q'(x) . 



Sostituendo nella seconda (5) il valore di e x p'{x) -\- er x q'{x) ricavato da 

 quest'equazione (6), troviamo 



_ B(x) = 1 + tfpia) — tr"q{x) — A! (a) . 



E allora, al posto delle prime due equazioni (5), possiamo scrivere queste 

 due altre 



( e x p(x) + e~ x q(x) = — k{x) 

 * ( e x p(x) — e- x q(x) = k'(x) — B(x) — 1 . 



Risolvendole, deduciamo 



p(x) = A(*) + M{x) - B(«) - 1] 



?(*) =^ E- A(a?) - + B(*) + 1] ; 



e, sostituendo nella (3), possiamo scrivere 



y(x) = F(x) + \£\ e x ~ì [- A(£) + A'(l) - B($) - 1] 



+ [- A(f ) - A'(fl + B(£) + 1] | y(£) # . 



La funzione F(#) è nota, ma vi figurano due costanti arbitrarie, le quali 

 figureranno anche nella soluzione y dell'equazione integrale (8). 



Nel caso generale, le equazioni (7) sarebbero in numero di », e il loro 

 determinante sarebbe il determinante di Vandermonde-Cauchy, costituito 

 colle potenze d'una radice primitiva n ma dell'unità. Nelle espressioni di 

 p 0 ,pi,... y figurerebbero: la derivata (n — l) ma di A, quella (n — 2) ma di 

 B, ecc. 



Per risolvere speditamente la (8), oltre i metodi classici, si può facil- 

 mente adoperare un metodo che esposi a suo tempo nel mio corso libero di 

 Fisica matematica nell' Università di Messina, e che ho recentemente pre- 

 sentato in una Comunicazione al Congresso di Matematica. 



