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Ora la dimensione D della serie continua completa a cui appartiene F, 

 si potrà valutare in base all'osservazione seguente : 



Tutte le superficie della serie, infinitamente vicine ad F, segano su F 

 il sistema lineare completo oo D_1 che si ottiene sommando il sistema segato 

 dalle prime polari e il sistema |C| delle sezioni piane (sistema caratteri- 

 stico della serie JFf). 



Infatti ogni superficie della serie infinitamente vicina alla F, d'ordine 

 n, si può considerare come una superficie dello stesso ordine che passi sem- 

 plicemente per la curva doppia di F e per i punti doppi (pinch-points) 

 ad essa infinitamente vicini ; viceversa ogni superficie d'ordine n che passi 

 per questa curva e per questi punti doppi, e che sia infinitamente vicina 

 ad F, ha una curva doppia dello stesso ordine infinitamente vicina a quella 

 di F e similmente altrettanto punti doppi in prossimità ai pinch-points di 

 F, quindi appartiene ad |F( . 



Ciò posto, essendo n il grado di |C| (ordine di F) e ti il suo genere, 

 le superficie <p polari di F segano su F un sistema lineare (contenuto in 

 2C + C) di genere 



n = 9n -f — 9. 



Il grado ó di codesto sistema è il numero delle C d'un fascio dotate 

 d'un punto doppio; perciò I = à — n — ire è il valore dell'invariante di 

 Zeuthen-Segre, cioè 



1= 12 p a — + 9 ; 



si deduce 



S = n -f- n + I2p a — jo u) + 9. 



Sommando |C| al sistema segato dalle (p„-i si ha il sistema caratteri- 

 stico della serie continua (F) : il genere e il grado di questo sistema var- 

 ranno dunque 



II = n + 2ii-\-2ti — 3 = 12 7T + 2 n -f- p ll) — 12 



e 



N = à + 2 (2 n -f- 2 ti — 2) + n = 6 n + 8 n -f- 12^ 3 — p il) + 5 . 



Quindi la dimensione D — 1 del sistema stesso, calcolata in base al teo- 

 rema di Riemann-Roch, sarà 



D — 1 = p a + N — n-{- 1 +0 = -4 n — 4 n -f 13 p a — 2 p aì -f- 18 + d , 

 con 



e > o. 



Procediamo ora a valutare il numero S che esprime quante trasformate 

 di F appartengono alla serie continua (F) . Essendo |C| un sistema regolare 

 di dimensione 



r = Pa -r n — ti -f 1 , 



