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dove le grandezze X sono non tutte zero, e sono indipen denti da x, allora, 

 con n — 1 derivazioni e con un richiamo ad un'elementare proprietà dei 

 sistemi di equazioni lineari, si dimostra agevolmente che W(x) rappresenta 

 lo zero, in tutto l'intervallo nel quale la funzione L(#) è nulla e le y{x) 

 sono derivabili nel modo anzidetto. 



Viceversa, si domanda: se W(x) rappresenta lo zero, esisterà fra le n 

 funzioni y x {x) , y%{$) , ••• , y n {x) una relazione lineare del tipo (1), valida in 

 tutto l'intervallo nel quale ~W(x) rappresenta lo zero? 



Si soleva rispondere affermativamente, non tanto per un vero e fonda- 

 mentale errore, quanto per un'omissione : non si precisava cioè in quale in- 

 tervallo si dovesse il teorema ritenere valido. Il prof. Peano ('), colla sua 

 consueta acutezza, osservò che, senza aggiungere una nuova condizione, tale 

 risposta affermativa non si poteva dare; e costruì l'esempio delle due funzioni 



y x {x)=x 2 yz(x) = x\x\, 



definite e derivabili per ogni x reale. Esse hanno il determinante di Wronski 

 sempre uguale a zero, per ogni x reale; eppure non esiste una sola rela- 

 zione lineare che le vincoli, tanto per x positivo quanto per x negativo : 

 per x positivo è nulla la loro differenza, e per x negativo la loro somma. 

 Ed il Peano stesso enunciò, dopo tale esempio, e dimostrò il teorema se- 

 guente: se in un intervallo è zero ~W(x), ma senza che esista nelt inter- 

 vallo nessuna radice comune a lutti gli aggiunti dell'ultima linea oriz- 

 zontale di questo determinante, allora intercede fra le funzioni yi(x) , 

 y 2 {x) y n {x) una relazione del tipo (1), valida in tutto l'intervallo. 



La difficoltà di ricercare se esistano radici comuni a tutti questi n ag- 

 giunti dell'ultima linea orizzontale di W(x) getta un'ombra di sfiducia sopra 

 un teorema che rende in analisi ottimi servizi ; perciò vedremo se, pur ri- 

 conoscendo l'esattezza dell'osservazione del Peano, non si possa diminuire 

 la difficoltà da essa creata. 



Dal modo stesso nel quale il prof. Peano dimostra il suo teorema, 

 risulta che, in ogni intervallo nel quale non cadano radici comuni agli n 

 aggiunti considerati, il teorema è valido. È ben facile vedere che, se tutti 

 questi aggiunti non sono identicamente zero, nel quale caso ci ridurremmo 

 a considerare soltanto n — 1 fra le funzioni y(x), allora deve esistere un 

 intervallo, sia pure molto piccolo, che non ne contenga le radici. Ciò si 

 vede subito, considerando che le y(x) e le loro derivate fino all'ordine n — 2 

 sono funzioni continue di x. E allora il teorema si potrebbe enunciare, ri- 

 manendo nelle considerazioni del Peano, nel modo seguente: se W(x) è zero, 

 esiste un intervallo nel quale intercede fra le funzioni y x {x) , yi{x) , ... , y n {x) 

 una relazione del tipo (1). 



(*) Sul determinante Wronskiano. Rendiconti R. Accademia dei Lincei, voi. VI, 

 1897, 1° semestre, pag. 413. 



