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Fi! 1 qui nulla di nuovo; ma, se consideriamo invece che nelle appli- 

 cazioni del teorema in parola non si sogliono mai adoperare funzioni che 

 possano annullarsi in un tratto continuo senza essere nulle in tutto il loro 

 intervallo d'esistenza, allora vediamo subito che la funzione L(x) , uguale 

 a zero nell' intervallo, sia pure piccolo, che non contiene radici dei suddetti 

 minori, sarà uguale a zero in tutto il rimanente dell'intervallo nel quale 

 esistono le y e la funzione W. 



Da questo punto di vista, escludendo cioè le funzioni così anomale 

 che loro combinazioni razionali presentino, senza essere identicamente 

 nulle, infinità continue di zeri, noi possiamo alleggerire alquanto la dimo- 

 strazione del Peano, e quella riferita nel libro di Calcolo del Vivanti 



Chiamiamo A rs gli aggiunti degli elementi ìj { s~ ì] {x) del determinante 

 W(jc). Derivando per linee A„ s , noi otteniamo n — 2 determinanti nulli, e 

 uno = — A n _ ls , dunque sarà A' !S = — A„_ ls . 



Noi supponiamo, come si è prima accennato, che siasi già dimostrato 

 il teorema fino all'ordine precedente. E allora l'annullarsi di W(^) ci 

 lascia dedurre che la matrice 



o anche 



A n _n A n _!2 . . . A„_] n 

 A„i A„; . . . A„ n 



A ' A' A ' 



A n j A f! 2 • • • A„ n 



è di caratteristica non superiore a 1. 



Mettiamoci ora in un intervallo che eviti le radici di k nX , quelle di 

 A„ 2 , e di ogni altro aggiunto dell'ultima linea di W(x). Esisterà un inter- 

 vallo che le eviti? Certamente sì, perchè la funzione A„, A„ 2 ... A„„ della 

 variabile x è continua ed è diversa da zero. 



E allora deduciamo subito 



cioè in generale 



A re i A„ 2 



A n i A,, 2 



A„s A nl A ftl A ns 

 A; ( i 



A' 

 . "" 

 ' A ' 



= 0, 



cioè A„ s = A nl k s , dove k s è costante ( 2 ). 



(') Pag. 118, § 114. 



( 2 ) Diversa evidentemente da zero. Se poi alcuna delle A risultasse identicamente 

 nulla, ci troveremmo in un caso relativo a meno di n funzioni ?/, che supponiamo già 

 discusso, e, come tale, non consideriamo. 



Rendiconti. 1908. Voi. XVII, 1° Sem. 



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