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la quale, come risulta da un teorema di Hilbert (1. e), semplificato notevol- 

 mente da Schmidt ('), può ammettere una soluzione solo quando la funzione 

 data g(s) soddisfa a certe condizioni, in generale alquanto restrittive ( 2 ). 

 Mostro inoltre che la soluzione più generale dell'equazione (£) contiene talune 

 volte una funzione arbitraria, mentre, come è noto, la soluzione dell'equazione 

 integrale di 2 a specie a limiti costanti (Fredholm) è unica, o, in casi spe- 

 ciali, contiene solo un numero finito di costanti arbitrarie. 

 Considero poi l'equazione integrale: 



(V) V00 = 9(s) + £ | H (s , t) 9 (t) + K(s ,t)^\dt, 



Qhe è un caso particolare di una classe di equazioni integrali considerate 

 per la prima volta dal prof. Fubini ( 3 ). L'equazione (j?) in certi casi, ad 

 esempio nel problema delle tensioni ( 4 ), è tale che non può trasformarsi col 

 metodo del prof. Tubini in un'equazione di 2 a specie di Fredholm. Qui di- 

 mostro che la risoluzione dell'equazione (rj) può ricondursi in generale alla 

 risoluzione di un'equazione della forma (J), e viceversa; ed esamino un caso, 

 diverso da quello del Fubini, nel quale l'equazione (rj) può trasformarsi in 

 un'equazione integrale di 2 a specie. 



1. Richiamiamo anzitutto i seguenti risultati di Schmidt. 



Data una funzione qualsiasi K(s , t) delle variabili s , t nel campo (for- 

 mato da un quadrato) a^s<b,a<t<.b, la quale soddisfa alle condi- 

 zioni seguenti: 



I. Sia atta all' integrazione nel suo campo di variabilità, e, se ha 

 delle discontinuità, queste siano tali che sopra ogni retta s = cost e sopra 

 ogni altra t = cost formino un gruppo di misura nulla, 



IL Sia tale che gli integrali f & )K(s , t)\ 2 dt , C\K(t , s)( 2 dt risul- 



y : a J a 



tino funzioni finite e continue nel campo a <. s <è, e non identicamente nulle, 

 si ha: 



a. Esiste una serie finita o infinita di coppie di funzioni ( 5 ) : 



(1) sp,(s) , xpiit) ; 5Pj(s) , 



ed una corrispondente serie di costanti positive e crescenti: 



(2) %i , Ai , . . . , 

 (') Math. Ann., Bd. LXIII, Heft 4. 



( 2 ) Già il prof. Pincherle nella sua cit. Meni, aveva osservato che « la risoluzione 

 dell'equazione (£) dipende più da considerazioni qualitative che quantitative ». 



( 3 ) Bollettino dell' Accad. Gioenia di Se. Nat. in Catania, fase. LXXXIII. I risultati 

 di questa Nota del prof. Fubini danno, come caso particolare, un nuovo metodo per inte- 

 grare un'equazione differenziale lineare. 



( 4 ) Lauricella, Sulle equazioni integrali (Annali di Matematica, serie III, tomo XV). 



( 5 ) Schmidt, loc. cit., § 14. 



