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Segue dunque in questo caso che l'equazione (7) non può ammettere 

 più di m soluzioni linearmente indipendenti. Per conseguenza la serie (1) 

 nel caso in cui ~K(s,t) ha la forma (16) si compone di n (<.m) coppie 

 di funzioni ; e quindi, in virtù del teorema ó', la funzione K(s , t) si può 

 mettere sotto la forma: 



(15)' K(. , t) = £ ^IM) . 



È facile qui formare le coppie <p,(s) , ipi(t) e trovare i valori delle A,-, 

 mediante il procedimento indicato dallo Schmidt al § 3 della sua Memoria. 

 È pur facile vedere che può farsi a meno della condizione II, posta per la 

 K(s , t). 



3. Volendo risolvere l'equazione (13), bisogna anzitutto osservare che 

 la funzione data g(s) deve necessariamente avere la forma: 



n n Hb 



(14)' g( s ) = y ds<p,(s) = T 5Pn(s) gir) 9>,(r) dr , 



1 1 ^ J a 



come risulta dal teorema y e come si verifica immediatamente. 



4. Supposta verificata questa condizione, una soluzione dell' equazione 

 integrale (13) è data dalla funzione: 



(17) h(t) = t d i>- h VA*) = Za h <M0 f V) M r ) dr ■ 



ir ir J a 



Infatti si ha dalla (15)' e dalle (10): 

 C~K(s , t) h(t) dt = J_ f d v . X { , Cxp^t) Vv(0 dt = ^_ d,<p,(s) = g(s). 



J a 1 v l r J a 1 ~> 



5. Quando una funzione g(s) può esprimersi mediante una formola come 

 la (13), diremo che essa può ottenersi operando colla funzione caratteristica 

 K(s, t) sulla funzione h(t). Ciò premesso, si ha: la soluzione (17) pud otte- 

 nersi operando colla funzione caratteristica: 



(18) H(s , t) = £ Ap. <p^(s) xpp(t) 



1 r 



sulla funzione data g(s). 



Infatti si ha, in virtù delle (9), 



f*b n n Tb 



H(s ,t) g(s) ds = y_ ^f^lT dv y^s) <p,(s) ds = 



J a ir i < J a 



= % v d v .^^{t) = Kt). 



