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6. Se %{t) è funzione arbitraria, ma atta all'integrazione nel campo 

 (a , b), l'espressione : 



(19) 6{t) = X (t) - t VV(0 Cxir) M r ) dr 



l f* Ja 



sarà una soluzione dell'equazione (11). 



Ciò si può provare immediatamente, in virtù delle (10), sia con veri- 

 fica diretta, sia applicando il teorema §. 



Come corollario si ha il seguente risultato: 



La soluzione più generale dell' equazione integrale (13) è data dal- 

 l'espressione : 



k(t) = h(t) + d(t) = X (t) + xp^t) j ^ ^ - J^ z (r) xp^r) dr | = 



tfo« x{i) funzione arbitraria, ma atta all'integrazione nel campo {a , b). 

 Osservazione. — Nel caso in cui la x{t) ha la forma: 



n 



x {t) = y u xp,{t) , 



risulta identicamente 6(t) = 0. 



L'equazione (£) nel caso generale. 



3i . Quando la funzione K(s , t) non può mettersi nella forma (16) 

 con m finito, la serie (1) corrispondente è infinita. 



Volendo allora risolvere l'equazione (13), bisogna anzitutto osservare 

 che, in virtù del teorema /, la funzione data g(s) deve necessariamente 

 avere la forma : 



00 oo_ n b 



(14); g(s) = T cfv 5Pv(s) = y SPv(s) g(r) <p,{r) dr , 



1 v 1 v Ja 



4i. Supposta soddisfatta questa condizione, se la serie: 



00 00 rb 



(17), = y ^ v = Zu. ^ vw) M r ) dr > 



IT ir - ,_/ a 



moltiplicata per ~K(s,t), è integrabile termine a termine nel campo (a,b), 

 rappresenterà certamente una soluzione dell' equazione (18). 

 Infatti si ha identicamente, in virtù della (3), 



rb & rb oo 



K(s , t) k(t) dt = y ^ ^ ) K(s , 0 t/v(0 <fc = 2. ^ 9v .(s) = . 



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