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È facile costruire delle classi di funzioni g(s) per le quali la serie al 

 secondo membro della (17)! soddisfa alle condizioni di qiìesto teorema; ma 

 è chiaro che vi sono pure delle classi di funzioni g(s) per le quali questa 

 condizione non è più soddisfatta, ed esiste tuttavia una soluzione della cor- 

 rispondente equazione (13). 



5*. Il risultato del § 5 suggerisce il seguente: se la serie: 



(18)! H(s , t) = f lu. (p^s) W(0 



i r 



è integrabile termine a termine rispetto ad s e rispetto a t separatamente, 

 una soluzione dell' equazione (13) può ottenersi operando con la funzione 

 caratteristica H(s , t) sulla funzione data g(s) ; cioè ponendo : 



(20) h(t) = f & H( r > t) 9( r ) dr . 



J a 



La verifica di questa proposizione è immediata. Però è da osservare 

 che in generale le condizioni supposte per la serie al secondo membro della 

 (18)i non sono soddisfatte; infatti, se si suppongono soddisfatte, si ha ov- 

 viamente : 



1 C b 



9>i(s) = T H(s , r) ipi(r) dr , 



i e 



fi(s) = y H(r , s) (f i{r) dr , 



donde risulta che le (pi(s) , Vi( s ) 5 9>z{ s ) > V*( s ) 5 ••• formano una serie di coppie 



di funzioni ortogonali della funzione caratteristica H(s , t), e le j- , y , ... , 



che hanno per punto limite il punto zero, formano la corrispondente serie 

 di costanti, contrariamente a ciò che accade in generale in forza del teo- 

 rema a. 



È chiaro per altro che la funzione H(s , t), operando con la quale può 

 ottenersi una soluzione dell'equazione integrale (13), se esiste, deve presen- 

 tare delle singolarità tali da originare a sua volta sulla funzione: 



G(s , r) == j \(s , t) H(r , t) dt 



quelle singolarità che sono necessarie, affinchè si abbia per tutte le infi- 

 nite (') funzioni g(s), linearmente indipendenti, della forma (14){ : 



(21) g(s) = C(}(r,s)g(r)dr, 



( l ) Sono in numero finito solo nel caso in cui K(s , t) ha la forma (16). 



