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ossia affinchè l'equazione integrale omogenea (21) ammetta infinite soluzioni 



linearmente indipendenti. 



61. Se x(t) è una funzione arbitraria,, ma atta all'integrazione nel 



» rb 



campo (a , b) e tale che la serie ^_ W(0 I z( r ) </V( r ) ^ r ' moltiplicata 



1 ' ' J a 



per K(s , t), oppure moltiplicata per ipt{t) con v qualsiasi, sia integrabile 

 termine a termine, l'espressione: 



(19), 6(t) = %(t) - f %(t) ( V) W) dr 



1 1 <J a 



sarà una soluzione dell'equazione integrale (11). 



Infatti si ha nel primo caso, tenendo conto della (3), 



Pk(s , t) 6(t) di = f K(s , t) X (t) dt - V 2éÙ C x (r) xp^r) dr ; 

 e poiché, in virtù del teorema y, 



C b 00 <p (t) c b 



K(s , r) %{r) dr = Y 2£U x (r) f tJ .(r) dr , 



J a 1 r Ajj. ._/ a 



sarà : 



f K(s , 0 ^ = 0 . 



Nel secondo caso si ha, tenendo conto delle (10), 



rb rb a. rb rb 



\ 6(t) xf>,(t) dt = \ x(t)f,{t)dt—y\ ^{t)^{t)dt\ x(r)M r ) dr = 0 - 



Come corollario si ha il seguente risultato: 

 Se h(t) è una soluzione dell' equazione integrale (13) e %(t) è una 

 funzione arbitraria soddisfacente alle condizioni del superiore teorema, 

 la soluzione più generale di questa equazione sarà data dall'espressione: 



(17); k(t) = h(t) + 6{t) = h(t) + x (t) - t w(0 f V) M r ) dr - 



Osservazione. — Nel caso in cui la funzione x(t) ha la forma: 



risulta identicamente: 6(t) = Q. Quindi se la funzione caratteristica K(s , t) 

 è tale, 0 meglio se la corrispondente serie di funzioni è tale che, 



quando la serie al secondo membro della (19)i converge nel detto modo, 



