— 783 — 



rappresenta la funzione %(t) si ha che non esistono integrali (diversi 

 da zero) dell'equazione (11); e viceversa ( 2 ). v 



7. Lo Schniidt al § 18 della sua Memoria dimostra che, volendo rap- 

 presentare approssimativamente una data funzione caratteristica K(s , t) per 

 mezzo della somma di m prodotti della forma a(s) @(t), la misura dell'ap- 

 prossimazione ( 3 ) è minima quando si considera la particolare somma : 



(22) Y^^, 



dove (p^s) , ipi(t) ; (p 2 (s) , ip 2 (t) ; . . . <p m (s) , ip m (t) sono le prime m coppie di 

 funzioni ortogonali della data funzione K(s,t), e X x , A 2 , . . . , X m sono le 

 corrispondenti costanti. 



Al § 19 dimostra poiché per m = co il limite della misura dell'ap- 

 prossimazione è lo zero. 



Si ha così che in tutti quei casi nei quali, dipendentemente dal pro- 

 blema che si studia, alla data funzione caratteristica si può sostituire la 

 somma (22), una soluzione dell'equazione integrale (13) si ottiene immedia- 

 tamente col procedimento del § 4 o anche col procedimento del § 5. 



Possiamo inoltre notare il seguente teorema, dovuto in parte al Bateman 

 (loc. cit.) : data una quantità positiva s piccola ad arbitrio,, si può sempre 



m 



determinare un numero intero m tale che posto: <p(t)= y d^X^xp^t), sia: 



i * 



g(s) — f K(s , t) <p(t) dt < s . 



a 



Infatti basterà determinare m in modo che, come può sempre farsi, si abbia : 



g(s) — J d,(p,(s] 



Teoremi sulle equazioni (£),(??). 



8. Dimostriamo che la derivata di una soluzione qualsiasi dell' equa- 

 zione integrale: 



(23) xp{s) = <p(s) +£ j E(s , t) cp(t) + K(s dt 



(') Vi sono dei casi nei quali ciò avviene. Basterà rammentare il teorema di Stekloff 

 a pag. 19 della sua bella Memoria: Sur certaines égalités générales, ecc. (Mémoires de 

 l'Ac. Imp. des Se. de St. Pétersbourg, sèrie VII, voi. XV), valevole per alcune serie di 

 funzioni ortogonali (quelle del n. 1 di tale Mem.) Osserviamo che il teorema del testo 

 deve poter servire a dedurre in altro modo il teorema di Stekloff e ad estenderlo ad altre 

 serie di funzioni ortogonali. 



( 2 ) E questo il caso in cui la funzione caratteristica è un abgeschlossener Kern, 

 secondo la denominazione introdotta da Hilbert (loc. cit., anno 1904, pag. 73). 



( 3 ) La misura dell' 'approssimazione è data dall'integrale doppio del quadrato del- 

 l'errore, esteso al campo (un quadrato) nel quale la funzione K(s , t) è definita. 



