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la quale si semplifica ovviamente nel caso in cui si abbia identicamente 

 nel campo (a , b) : 1 — R(s , a) = 0 . v 



Questa equazione integrale, cui soddisfa la derivata della soluzione <p{t) 

 dell'equazione integrale (23), è appunto della forma (13). 



9. Viceversa, ogni soluzione dell'equazione integrale (13) in generale 

 dà con una quadratura una soluzione di un'equazione della forma (23), 

 che si può scrivere a priori. 



Infatti si ponga: h(t) = ^jj , e si determini la <p(s) in modo che, come 



può sempre farsi, si abbia: 



g>(s)= I h(t)dt. 



•J a 



Introducendo allora la funzione G(s , t) del paragrafo precedente, si avrà : 

 5P(«) = f b G(s , t) h{t) dt = Pg(s ,t)^f-dt\ 



J a Ja &t 



e così la (13) ci darà: 



(13)' g(s) = cp(s) + Jj K(s t t)-G( Si t)[^dt, 



che è appunto un'equazione integrale della forma (23). 



10. Volendo in particolare dimostrare che ogni soluzione dell'equazione 

 (23)", così come è scritta, dà con una quadratura una soluzione dell'equa- 

 zione (23), si può procedere nel seguente modo. Si determini la funzione g>(s) 

 in modo che, come può sempre farsi, <p{a) abbia il valore dato dalla (28). 

 Allora, in virtù della (27), la (23)" diviene: 



*W - T^W^) |>> -f 1 K{e ' t) + G(c ' 0 " R(c ' < )! * * 



= SP(«) - »>(«) + f W . 0 - B(« . t)[" 

 xp(s) + K(s , a) <p(a) = <p(s) + Jj K(s , t) - R(s , t)\ & 



dt. 

 dt 



ossia : 



dt, 



Da questa, integrando per parti e rammentando le (24), (25), risulta la (23). 



Il procedimento precedente si semplifica nel caso in cui nel campo 

 (a , b) l'espressione 1 — R(s , a) sia identicamente nulla. 



Abbiamo dunque che la risoluzione dell'equazione (23) equivale {a meno 

 di una quadratura) alla risoluzione dell equazione (23)". 



È evidente poi che la risoluzione dell'equazione integrale (13) equi- 

 vale ali integrazione dell'equazione (13)'. 



Rendiconti. 1908, Voi. XVII, 1° Sem. 103 



