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ed è noto che il punto x -f- iy = X \ , z = 0 è la proiezione stereo- 



1 — Si 



grafica del punto %\,y\,Z\ della sfera. 



Il quadrato dell'elemento lineare dello spazio, espresso per mezzo delle 

 coordinate curvilinee q , « e §, assumerà la forma 



f'{a + i(ì)n{a-iP) 



(5) ds 2 = dg 2 -\-Q 2 h 2 {da 2 -j-d/? 2 ) , h 2 = 4 



[A« + ^)/o(«-^) + l] 2 ' 



dove /o è la funzione immaginaria coniugata di f. Invece della funzione 

 f 0 (a — z/9) conviene, in questo problema, introdurre la funzione 



(6) 4>(a — 0) = — 



che gode della proprietà di rappresentare, sulla sfera di raggio uno, il punto 

 opposto di quello rappresentato da f(a -f- i(t). Allora diventa 



(5') h 2 = 4 + — #) 



e infine l'equazione di Laplace, trasformata nelle coordinate curvilinee q , a 

 e /?, si scriverà 



w U(? \ De / 1 la 2 * ~à/? 2 



3. Col solito procedimento ('), si trova che, se l'equazione (7) ammette 

 soluzioni della forma P . E . A . B , dove E , A , B sono funzioni di q , a e /S 

 rispettivamente, soddisfacenti ad equazioni lineari ordinarie del second'ordine, 

 e P è una funzione determinata, si può sempre porre: 



(8) 



dove n è una costante arbitraria e y>i ,y> 2 due opportune funzioni da deter- 

 minarsi in modo che sia 



(9) n{n + 1) A» + SPi(«) + SPt(jS) = 0 . 



4. La determinazione di <f x e </> 2 dà luogo ad un problema che, formal- 

 mente, coincide con l'analogo problema per i sistemi tripli di rotazione. Si 

 trova quindi che ponendo 



(10) /' 3 = X , Q>' 2 = Y 



e considerando X come funzione di f,Y come funzione di <P, dev'essere 



(11) 12(X — T) — 6(/ — <P) (X' + T) -f (f— <P) 2 (X" — Y") = 0 , 



(') Darboux, LeQons sur les systèmes orthogonaux tic, pp. 222, 239, 282. 



