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indicando con X' , Y', ... le derivate di X , Y rispetto ad /,oa <P. Abbiamo 

 inoltre fatto vedere, nella Comunicazione citata a principia, che il modo più 

 generale di soddisfare alla (11) consiste nel porre X eguale ad un polinomio 

 di quarto grado in f con coefficienti arbitrari, e Y eguale allo stesso poli- 

 nomio in <P. Possiamo dunque scrivere : 



, 12 j f' = X = a 0 / 4 +«i P -r-a 2 f 2 + a 3 f + a 4 , 



<X>' 2 = Y = a 0 tf> 4 + a, <P 5 + a 2 d> 2 + a 3 d> + a, . 



Ora, dalla seconda di queste equazioni si ha pure 



(12') f'o = «4 fi — «3 fi + «2 fi — «1 fo + «0 , 



per cui, notando che / 0 > f'o sono immaginarie coniugate di ed indi- 



cando con al il numero coniugato di ai, dev'essere 



(13) a 0 = al , a! = — > a 2 = «2 • 



Da questi risultati discende anche che l'equazione X = 0 ha le radici 



1 



distribuite a coppie ; ad ogni radice t ne corrisponde un altra — — e queste 



due radici non possono mai coincidere. 



5. h 2 resta inalterata eseguendo su f e (P la stessa sostituzione lineare, 

 fratta 



af+b ad> -4- b , 



e, poiché dalla seconda di queste relazioni abbiamo 



clf 0 — e 



/»=■ 



bf 0 -j- a ' 



volendo considerare soltanto quelle trasformazioni che portano da un punto 

 reale ad un altro punto reale, deve supporsi 



a = d° , b = — c°. 



Considereremo quindi soltanto le sostituzioni lineari, fratte sulla / della 

 forma 



(14) 7= afJrÒ con aa a + bb° = l 



— b°f+a° 



che rappresentano dei movimenti rigidi della sfera su se stessa. È quindi 

 naturale di considerare tutti i problemi che corrispondono a tutte le fun- 

 zioni / legate alla f da relazioni come, la (14), come un unico problema. 



Notiamo pure che con una sostituzione della specie (14) sulle / e d>, 

 le equazioni (12) si trasformano in equazioni dello stesso tipo e le radici 



